Question

（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)．

（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值；

（2）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，則對(duì)任意的恒成立，又即對(duì)任意的恒成立；（2）“若存在使成立”等價(jià)于

“當(dāng)時(shí)，有，分別求出相應(yīng)的最值后分<兩種情況進(jìn)行分類討論，當(dāng)時(shí)，可得=，故．當(dāng)<時(shí)不存在；當(dāng)然本題也可用分離參數(shù).

試題解析：（1）由已知得x＞0，x≠1．

因f （x）在上為減函數(shù)，故在上恒成立． 1分

所以當(dāng)時(shí)，．

又， 2分

故當(dāng)，即時(shí)，．

所以于是，故a的最小值為． 4分

（2）命題“若存在使成立”等價(jià)于

“當(dāng)時(shí)，有”． 5分

由（Ⅰ），當(dāng)時(shí)，，．

問題等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有”． 6分

①當(dāng)時(shí)，由（1），在上為減函數(shù)，

則=，故． 8分

②當(dāng)<時(shí)，由于在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032706073717556551/SYS201503270607496603693349_DA/SYS201503270607496603693349_DA.035.png">

（�。�，即，在恒成立，故在上為增函數(shù)，

于是，，矛盾． 10分

（ⅱ），即，由的單調(diào)性和值域知，

存在唯一，使，且滿足：

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；

所以，， 12分

所以，，與矛盾． 13分

綜上，得 14分

考點(diǎn)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用