Question

依次計算a₁=2×（1-

1

4

），a₂=2×（1-

1

4

）（1-

1

9

），a₃=2×（1-

1

4

）（1-

1

9

）（1-

1

16

），a₄=2×（1-

1

4

）（1-

1

9

）（1-

1

16

）（1-

1

25

），猜想a_n=2×（1-

1

4

）（1-

1

9

）（1-

1

16

）…（1-

1

(n+1)2

）結(jié)果并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：先計算、猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答： 解：a₁=2×（1-

1

4

）=

3

2

，a₂=2×（1-

1

4

）（1-

1

9

）=

4

3

，a₃=2×（1-

1

4

）（1-

1

9

）（1-

1

16

）=

5

4

，a₄=2×（1-

1

4

）（1-

1

9

）（1-

1

16

）（1-

1

25

）=

6

5

，
猜想：a_n=

n+2

n+1

證明：（1）當(dāng)n=1時，顯然成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N₊）命題成立，即a_k=

k+2

k+1

則當(dāng)n=k+1時，a_k+1=a_k•[1-

1

(k+2)2

]=

k+3

k+2

∴命題成立
由（1）（2）可知，a_n=

n+2

n+1

對n∈N₊成立．

點評：本題考查歸納猜想，考查數(shù)學(xué)歸納法證明等式，解題的關(guān)鍵是先猜后證．