Question

已知數列是首項為1，公差為的等差數列，數列是首項為1，公比為的等比

數列．

（1）若，，求數列的前項和；

（2）若存在正整數，使得．試比較與的大小，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) ;(2) 當時，；當時，；當時，．

【解析】

試題分析：(1)利用基本量思想求解兩個數列的通項公式，然后才有錯位相減法求解數列的前項和；（2）利用等量關系關系，減少公差d，進而將與進行表示，然后才有作差比較進行分析，注意分類討論思想的應用.

試題解析：（1）依題意，，

故，

所以，                                        3分

令，                   ①

  則，          ②

①②得，，

，

所以．                                           7分

（2）因為，

所以，即，

故，

又，                                                          9分

所以

                                                                            11分

（ⅰ）當時，由知

，                                                   13分

（ⅱ）當時，由知

，

綜上所述，當時，；當時，；當時，．       16分

（注：僅給出“時，；時，”得2分．）

方法二：（注意到數列的函數特征，運用函數性質求解）

(易知)，

令，有，，

令，則．記．

若，則在上，函數在上為單調增函數，則，

這與相矛盾；

若，則在上，函數在上為單調減函數，則，

這與相矛盾；

所以，．

故在上，函數在上為單調減函數，

在上，函數在上為單調增函數．

因為，所以，當時，，當時，，

所以，當時，，即，

當時，，即，

綜上所述，當時，；當時，；當時，．

考點：1.等差和等比數列的通項公式；2.數列求和；3.大小比較.