已知△ABC中，角A、B、C所對邊為a、b、c，其中cosA=
5
13
，tan
B
2
+cot
B
2
=
5
2
，c=
14
3
．
（1）求tanB．
（2）求△ABC的面積．
分析：（1）由題意求出sinA，切化弦求出sinB，討論B的范圍，求出tanB．
（2）利用A+B+C=π，求出sinC=sin（A+B）的值，利用正弦定理求出a，然后求出三角形的面積．
解答：解：（1）△ABC中，由cosA=
5
13
知A為銳角，
則sinA=
1-cos2A
=
1-(
5
13
)2
=
12
13
（1分）
又tan
B
2
+cot
B
2
=
sin
B
2
cos
B
2
+
cos
B
2
sin
B
2
=
1
sin
B
2
cos
B
2

=
2
sinB
=
5
2

得sinB=
4
5
（3分）
若B為鈍角sinB=sin（π-B）＜sinA
得π-B＜A即A+B＞π這不可能（4分）
故B為銳角，cosB=
1-sin2B
=
3
5
（5分）
∴tanB=
sinB
cosB
=
4
3
（6分）
（2）△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
12
13
×
3
5
+
5
13
×
4
5
=
56
65
（8分）
由正弦定理
a
sinA
=
c
sinC
得
a
12
13
=
14
3
56
65
?a=5（10分）
∴S△ABC=
1
2
ac．sinB=
1
2
×5×
14
3
×
4
5
=
28
3
（12分）
點評：本題是中檔題，考查同角三角函數(shù)的基本關系式、正弦定理的應用，三角形面積的求法，考查計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AH為BC邊上的高，以下結論：①
AH
•(
AC
-
AB
)=0；
②
AB
•
BC
＜0⇒△ABC為鈍角三角形；
③
AC
•
AH
|
AH
|
=csinB；
④
BC
•(
AC
-
AB
)=a2，其中正確的個數(shù)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足b+c=
3
a，設
m
=[cos（
π
2
+A），-1]，
n
=（cosA-
5
4
，-sinA），
m
∥
n
，試求角B的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．
（1）證明：
a+b
2a+b
＞
c
a+c
；
（2）證明：不論x取何值總有b2x2+（b2+c2-a2）x+c2＞0；
（3）若a＞c≥2，證明：
1
a+c+1
-
1
(c+1)(a+1)
＜
1
6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a，b，c且角A，B、C成等差數(shù)列，△ABC的面積S=
b2-(a-c)2k
，則實數(shù)k的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=
2
，向量
m
=(-1，1)，
n
=(cosBcosC，sinBsinC-
2
2
)，且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）當sinB+cos(
7π
12
-C)取得最大值時，求角B的大小和△ABC的面積．

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