Question

（本題滿(mǎn)分10分）選修4-1:幾何證明選講

如圖，在中，，以為直徑的圓交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接交圓于點(diǎn).

（Ⅰ）求證：是圓的切線(xiàn)；

（Ⅱ）求證：.

Answer 1

證明見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：證明DE是圓的切線(xiàn)，只需說(shuō)明兩點(diǎn)，第一DE過(guò)圓上一點(diǎn)E，第二DE與半徑OE垂直，如何證明呢？可考慮證明，由OD為的中位線(xiàn)可知:，連接OE，有

，OD為公共邊，兩個(gè)三角形全等，問(wèn)題得證；延長(zhǎng)DO交圓于F，左邊由切割線(xiàn)定理：，右邊

，問(wèn)題得證；

試題解析：（Ⅰ）連結(jié).∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，.∵，∴，∴.在和中，

∵，，∴，即.∵是圓上一點(diǎn)，∴是圓的切線(xiàn).

（Ⅱ）延長(zhǎng)交圓于點(diǎn).∵≌，∴.∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴.

∵是圓的切線(xiàn)，∴.∴. ∵，

∴.∵是圓的切線(xiàn)，

是圓的割線(xiàn)，∴，∴

考點(diǎn)：全等三角形與圓冪定理；