【題目】已知,其中.
(1)若,寫出的單調區(qū)間:
(2)若函數恰有三個不同的零點,且這些零點之和為-2,求a、b的值;
(3)若函數在上有四個不同零點,求的最大值。
【答案】(1)遞減,遞增;(2);(3)4
【解析】
(1)由,得出函數的解析式,再做出圖像可得函數的單調區(qū)間;
(2)令,即或,再由,可得方程中有兩個不等的實根,要使函數恰有三個不同的零點,且這些零點之和為-2,,則需方程有兩個相等的實根,可建立關于的方程,解之可得的值;
(3)由,即或,設的兩根為,并且可得,的兩根為,并且可得,所以兩根中一正一負,再由均在內,得的負根,從而可得的最大值.
(1)當時,,做出圖像如下圖1所示,
所以的單調區(qū)間是:在上單調遞減,在上單調遞增;
(2)令,即,所以或,
整理得或,
因為,所以方程中恒成立,也即是一定有兩個不等的實根,
設這兩個實根為并且,要使函數恰有三個不同的零點,且這些零點之和為-2,
現(xiàn)需方程有兩個相等的實根,設此根為,且,
所以,即,解得,
所以的值為;
(3)若,即或,
設的兩根為,則,
的兩根為,則,所以兩根中一正一負,
,
均在內,的負根在內,
,,
所以的最大值為4.
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【題目】定義:若函數的圖像經過變換后所得的圖像對應的函數與的值域相同,則稱變換是的同值變換,下面給出了四個函數與對應的變換:
①將函數的圖像關于軸作對稱變換;
②將函數的圖像關于軸作對稱變換;
③將函數的圖像關于點(-1,1)作對稱變換;
④將函數的圖像關于點(-1,0)作對稱變換;
其中是的同值變換的有_______.(寫出所有符合題意的序號)
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【題目】定義運算“”:對于任意,(等式的右邊是通常的加減乘運算).若數列的前n項和為,且對任意都成立.
(1)求的值,并推導出用表示的解析式;
(2)若,令,證明數列是等差數列;
(3)若,令,數列滿足,求正實數b的取值范圍.
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【題目】《九章算術·均輸》中有如下問題:“今有五人分十錢,令上二人所得與下三人等,問各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列,問五人各得多少錢?”(“錢”是古代的一種重量單位).這個問題中,甲所得為( )
A.錢B.錢C.錢D.錢
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【題目】是定義在區(qū)間上且同時滿足如下條件的函數所組成的集合:
①對任意的,都有;
②存在常數,使得對任意的,都有
(1)設,試判斷是否屬于集合;
(2)若,如果存在,使得,求證:滿足條件的是唯一的;
(3)設,且,試求參數的取值范圍
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【題目】已知集合,集合,集合.
(1)用列舉法表示集合C;
(2)設集合C的含n個元素所有子集為,記有限集合M的所有元素和為,求的值;
(3)已知集合P、Q是集合C的兩個不同子集,若P不是Q的子集,且Q不是P的子集,求所有不同的有序集合對的個數;
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【題目】經過多年的運作,“雙十一”搶購活動已經演變成為整個電商行業(yè)的大型集體促銷盛宴.為迎接2014年“雙十一”網購狂歡節(jié),某廠家擬投入適當的廣告費,對網上所售產品進行促銷.經調查測算,該促銷產品在“雙十一”的銷售量p萬件與促銷費用x萬元滿足(其中,a為正常數).已知生產該產品還需投入成本萬元(不含促銷費用),產品的銷售價格定為
元/件,假定廠家的生產能力完全能滿足市場的銷售需求.
(1)將該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數;
(2)促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大?
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【題目】下列命題中真命題的序號為(少填或錯填均不得分)______.若一個球的半徑縮小為原來的一半,則其體積縮小為原來的八分之一;②若兩組數據的平均值相等,則它們的標準差也相等;③直線與圓相切;④若兩個平面都垂直于同一個平面,則這兩個平面平行.
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【題目】設計一個隨機試驗,使一個事件的概率與某個未知數有關,然后通過重復試驗,以頻率估計概率,即可求得未知數的近似解,這種隨機試驗在數學上稱為隨機模擬法,也稱為蒙特卡洛法。比如要計算一個正方形內部不規(guī)則圖形的面積,就可以利用撒豆子,計算出落在不規(guī)則圖形內部和正方形內部的豆子數比近似等于不規(guī)則圖形面積與正方形面積比,從而近似求出不規(guī)則圖形的面積.
統(tǒng)計學上還有一個非常著名的蒲豐投針實驗:平面上間隔的平行線,向平行線間的平面上任意投擲一枚長為的針,通過多次實驗可以近似求出針與任一平行線(以為例)相交(當針的中點在平行線外不算相交)的概率.以表示針的中點與最近一條平行線的距離,又以表示與所成夾角,如圖甲,易知滿足條件:,.
由這兩式可以確定平面上的一個矩形,如圖乙,在圖甲中,當滿足___________(與,之間的關系)時,針與平行線相交(記為事件).可用從實驗中獲得的頻率去近似,即投針次,其中相交的次數為,則,歷史上有一個數學家親自做了這實驗,他投擲的次數是5000,相交的次數為2550次,,,依據這個實驗求圓周率的近似值_________.(精確到3位小數)
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