Question

已知圓O：x²+y²=1和定點A（2，1），由圓O外一點P向圓O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|=|PA|．
（Ⅰ）求P點的軌跡方程；
（Ⅱ）求線段PQ長的最小值，并求此時PQ的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用勾股定理，結(jié)合|PQ|=|PA|，建立方程，化簡可得P點的軌跡方程；
（Ⅱ）表示出線段PQ長，利用配方法可求線段PQ長的最小值，設(shè)出PQ的方程了直線與圓相切，即可并求此時PQ的斜率．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），連OP，則
∵Q為切點，∴PQ⊥OQ，
由勾股定理有|PQ|²=|OP|²-|OQ|²（2分）
又由已知|PQ|=|PA|，故|PQ|²=|PA|²．
即：（x²+y²）-1²=（x-2）²+（y-1）²．
整理得2x+y-3=0．     （4分）
（Ⅱ）由2x+y-3=0，得y=-2x+3．
∴|PQ|=

x2+y2-1

=

x2+(-2x+3)2-1

=

5x2-12x+8

=

5(x- 6 5 )2+ 4 5

故當(dāng)x=

6

5

時，|PQ|min=

2

5

5

．
即線段PQ長的最小值為

2

5

5

．（8分）
此時y=

3

5

，設(shè)PQ方程為y-

3

5

=k(x-

6

5

)，即5kx-5y-6k+3=0（9分）
∵與圓相切，∴

|3-6k|

25+25k2

=1（10分）
解得k=

18±10 5

11

（12分）

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查配方法的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．