【題目】已知平面向量 , ( ≠ )滿足 =2,且 與 ﹣ 的夾角為120° , t∈R,則|(1﹣t) +t |的最小值是 . 已知 =0,向量 滿足( ﹣ )( ﹣ )=0,| ﹣ |=5,| ﹣ |=3,則 的最大值為 .
【答案】;18
【解析】解:①∵平面向量 滿足| |=2,且 與 ﹣ 的夾角為120°,
故當(dāng)t( ﹣ )滿足t| ﹣ |= 時(shí),|(1﹣t) +t |(t∈R)取最小值,
此時(shí)由向量加法的三角形法則可得|(1﹣t) + |(t∈R)的最小值是 ;
②由 =0,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系;
可設(shè) =(m,0), =(0,n), =(x,y),
∵| ﹣ |=5,
∴m2+n2=25,記此圓為⊙M;
∵向量 滿足( ﹣ )( ﹣ )=0,
∴x2+y2﹣mx﹣ny=0,
化為 + = ,
說(shuō)明點(diǎn)C在⊙M上;
∴| |=| ﹣ |=3,
∴| |=| ﹣ |=4,
過(guò)點(diǎn)C分別作CD⊥y軸,CE⊥x軸,垂足分別為D,E;
設(shè)∠CBD=θ,則∠OAC=θ,
則x=4sinθ=m﹣3cosθ,
∵ =mx=4sinθ(4sinθ+3cosθ)
=16sin2θ+12sinθcosθ
=8(1﹣cos2θ)+6sin2θ
=10sin(2θ﹣φ)+8≤18;
∴ 的最大值為18.
所以答案是: ,18.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】是否存在過(guò)點(diǎn)(﹣5,﹣4)的直線l,使它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5?若存在,求出直線l的方程(化成直線方程的一般式);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在極坐標(biāo)系中,直線的方程為: ,直線的方程為.
(Ⅰ)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程,并指出它是何種曲線;
(Ⅱ)設(shè)與曲線交于兩點(diǎn), 與曲線交于兩點(diǎn),求四邊形面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b=acosc+ csinA.
(1)求角A的大;
(2)當(dāng)a=3時(shí),求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC, .點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求證:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C-EM-N的正弦值;
(Ⅲ)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為,求線段AH的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)橢圓E: =1(a>b>0),其中b= a,F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),P(1,1)為橢圓E內(nèi)一點(diǎn),PF⊥x軸.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過(guò)P點(diǎn)作斜率為k1 , k2的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)A,C和B,D.若滿足|AP||PC|=|BP||DP|,問(wèn)k1+k2是否為定值?若是,請(qǐng)求出此定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)向量 =(4cosα,sinα), =(sinβ,4cosβ), =(cosβ,﹣4sinβ)
(1)若 與 ﹣2 垂直,求tan(α+β)的值;
(2)若β∈(﹣ ],求| |的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上在第一象限的點(diǎn),直線 交軸于點(diǎn),直線交軸于點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率;
(Ⅱ)是否存在點(diǎn),使得直線 與直線平行?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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