Question

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BE∥CF，BE＜CF，∠BCF=

π

2

，AD=

3

，EF=2CD=2．
（Ⅰ）求證：DF∥平面ABE；
（Ⅱ）求直線AF與平面ABCD所成的角的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得AB∥CD，由此得到平面ABE∥平面DCF，從而能證明DF∥平面ABE．
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)E作GE⊥CF交CF于點(diǎn)G，分別以C為原點(diǎn)，CB、CD、CF所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AF與平面ABCD所成的角．

解答： （Ⅰ）證明：∵ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∵BE∥CF，AB∩BE=B，
∴平面ABE∥平面DCF，
∵DF?平面DCF，∴DF∥平面ABE．
（Ⅱ）解：過(guò)點(diǎn)E作GE⊥CF交CF于點(diǎn)G，
由已知可得：EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD，
∴EG=AD=

3

，又EF=2，∴GF=1
∵四邊形ABCD是矩形，∴DC⊥BC
∵∠BCF=

π

2

，∴FC⊥BC，
又平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC
∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥CD，
∴分別以C為原點(diǎn)，CB、CD、CF所在直線為x軸、y軸、z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)BE=m，

AB

BE

=λ，則AB=λm，
∴A（

3

，λm，0），E（

3

，0，m），F(xiàn)（0，0，m+1），D（0，λm，0），
平面AFE的法向量

n

=（λ，

3

，

3

λ），又CD⊥面CEF，
∴

CD

=（0，λm，0）是平面CEF的一個(gè)法向量，
∴cos

π

3

=|

CD

，

n

|=

3 λm

λm• λ2+3+3λ2

=

1

2

，解得λ=

3

2

，
∵AD=

3

，EF=2CD=2，∴AB=1，
∴BE=

2

3

，∴CF=

5

3

，
∴F（0，0，

5

3

），A（

3

，1，0），

AF

=(-

3

，-1，

5

3

)，
又平面ABCD的法向量

n

=（0，0，1），
設(shè)直線AF與平面ABCD所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

AF

，

n

＞|=

5 3

3+1+ 25 9

=

5 61

61

．
∴直線AF與平面ABCD所成的角為arcsin

5 61

61

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．