Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（x+a）．
（1）若0＜f(1-2x)-f(x)＜

1

2

，當(dāng)a=1時(shí)，求x的取值范圍；
（2）若定義在R上奇函數(shù)g（x）滿足g（x+2）=-g（x），且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，g（x）=f（x），求g（x）在[-3，-2]上的反函數(shù)h（x）；
（3）若關(guān)于x的不等式f(tx2-a+1)+f(

1

5-2x

-a)＞0在區(qū)間[

1

2

，2]上有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)部分大于0，及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可將不等式0＜f(1-2x)-f(x)＜

1

2

，化為1＜

2-2x

x+1

＜

2

且2-2x＞0且x+1＞0，解不等式組可得x的取值范圍；
（2）函數(shù)g（x）滿足g（x+2）=-g（x），表示函數(shù)的周期為4，結(jié)合函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，可求出x∈[-3，-2]時(shí)，函數(shù)g（x）的解析式，進(jìn)而得到其反函數(shù)；
（3）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可將不等式f(tx2-a+1)+f(

1

5-2x

-a)＞0化為log2(tx2+1)＞log2(5-2x)，即tx²＞4-2x，進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為最值問題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得實(shí)數(shù)t的取值范圍

解答： 解：（1）原不等式可化為0＜log2(2-2x)-log2(x+1)＜

1

2

…（1分）
所以1＜

2-2x

x+1

＜

2

且2-2x＞0且x+1＞0…（2分）
得3-2

2

＜x＜

1

3

…（2分）
（2）因?yàn)間（x）是奇函數(shù)，所以g（0）=0，得a=1…（1分）
當(dāng)x∈[-3，-2]時(shí)，-x-2∈[0，1]g（x）=-g（x+2）=g（-x-2）=log₂（-x-1）…（2分）
此時(shí)g（x）∈[0，1]，x=-2^g（x）-1，所以h（x）=-2^x-1（x∈[0，1]）…（2分）
（3）由題意log2(tx2+1)+log2

1

5-2x

＞0，…（1分）
即log2(tx2+1)＞log2(5-2x)…（1分）
所以不等式tx²＞4-2x在區(qū)間[

1

2

，2]上有解，
即t＞(

4

x2

-

2

x

)min=0…（3分）
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為（0，+∞）…（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性，函數(shù)的單調(diào)性，反函數(shù)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，存在性問題，函數(shù)的最值，是函數(shù)圖象和性質(zhì)較為綜合的應(yīng)用，難度較大．