Question

已知一非零向量列{a_n}滿足：a₁=（1，2），an=(xn，yn)=(-

1

2

yn-1，

1

2

xn-1)(n≥2)
（1）證明：{|a_n|}是等比數(shù)列；
（2）求向量a_n-1與a_n的夾角θ（n≥2）；
（3）把向量a₁，a₂，…，a_n…中所有與a₁共線的向量按原來的前后順序排成一列，記為b₁，b₂，…，b_n，…，其中b₁=a₁，若

OBn

=b1+b2+…+bn=(Tn，Sn)（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），求S_n

Answer 1

分析：（1）用等比數(shù)列的定義證明：先求|an|=

x 2 n + y 2 n

=

1

2

x 2 n-1 + y 2 n-1

=

1

2

|an-1|(n≥2)，通過

|an|

|an-1|

=

1

2

．(n≥2)符合等比數(shù)列的定義可證，但要注意明確首項(xiàng)和公比．
（2）根據(jù)向量的夾角公式來求，先求數(shù)量積，再分別求模，代入公式求解．
（3）由（2）知，a₁∥a₃∥a₅∥奇數(shù)項(xiàng)共線，則b_n=a_2n-1．由an=(xn，yn)=(-

1

2

yn-1•

1

2

xn-1)(n∈N*，n≥2)，得an=-

1

4

an-2，從而有bn=-

1

4

bn-1=(-

1

4

)n-1再由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解．

解答：解：（1）證明：|an|=

x 2 n + y 2 n

=

1

2

x 2 n-1 + y 2 n-1

=

1

2

|an-1|(n≥2)，
∴

|an|

|an-1|

=

1

2

．(n≥2)
又|a1|=

5

，∴{|a_n|}是首項(xiàng)為

5

．公比為

1

2

的等比數(shù)列．（4分）
（2）∵an-1•an=(xn-1•yn-1)•(-

1

2

yn-1•

1

2

xn-1)=0，∴a_n-1與a_n的夾角θ=90°（6分）
（3）∴由（2）知，a₁∥a₃∥a₅∥．即b_n=a_2n-1．
由an=(xn，yn)=(-

1

2

yn-1•

1

2

xn-1)(n∈N*，n≥2)，得xn=-

1

2

yn-1，yn=-

1

2

xn-1．
∴xn=-

1

2

yn-1=-

1

2

(

1

2

xn-2)=-

1

4

xn-2•yn=

1

2

xn-1=

1

2

(-

1

2

yn-2)=-

1

4

yn-2，
∴an=-

1

4

an-2，∴bn=-

1

4

bn-1=(-

1

4

)n-1b1=(-

1

4

)n-1(1，2)，
∴Sn=2[1+(-

1

4

)+(-

1

4

)2++(-

1

4

)n-1]=

8

5

[1-(-

1

4

)n]（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查知識間的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，涉及到數(shù)列的判斷與證明，通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的靈活運(yùn)用．