已知一非零向量列{an}滿足:a1=(1,1),an=(xn,yn)=
(1)證明:{|an|}是等比數(shù)列;
(2)設θn=<a n-1,an>(n≥2),bn=2nθn-1,Sn=b1+b2+…+bn,求Sn;
(3)設cn=|an|log2|an|,問數(shù)列{cn}中是否存在最小項?若存在,求出最小項;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)先利用向量模的計算公式得出的表達式,發(fā)現(xiàn)得出=利用等比數(shù)列定義判定是等比數(shù)列.
(2)根據(jù)向量夾角公式可以求出θn=,bn=2nθn-1=.分組后結合等差數(shù)列求和公式計算.
(3)由上可得出cn=,可利用作商法研究數(shù)列{cn}的單調性,確定最小項存在與否.
解答:解:(l)證明:=
==(n≥2)又= 
∴數(shù)列是以為首項,公比為的等比數(shù)列.…(4分)
(2)∵===2
∴cosθn==,∴θn=,∴bn=2nθn-1=
Sn=b1+b2+…+bn==…(8分)
(3)假設存在最小項,不防設為cn,∵==,
∴cn=|an|log2|an|=,由cn≤cn+1
(2-n)≤1-n,∴(-1)n≥2-1.
∴n≥=3+,∵n為正整數(shù),∴n≥5.
由cn≤cn-1 得n≤4+,n≤5.,∴n=5
 故存在最小項,最小項為c5=…(12分)
點評:本題考查數(shù)列的函數(shù)性質,等比數(shù)列的判定,數(shù)列求和,向量數(shù)量積、夾角的計算,是數(shù)列與不等式的綜合.所涉及的知識、方法均為高中學段基本要求.
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