Question

（2012•泉州模擬）已知橢圓C的方程為：

x2

a2

+

y2

2

=1 (a＞0)，其焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=

2

2

．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足

OP

=

OM

+2

ON

，其中M，N是橢圓C上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，求證：x02+2

y

2 0

為定值．
（3）在（2）的條件下，問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=

2

2

，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）假設(shè)M，N的坐標(biāo)，利用向量條件尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)M，N在橢圓

x2

4

+

y2

2

=1上，即可證明x02+2

y

2 0

為定值；
（3）由（2）知點(diǎn)P是橢圓

x2

20

+

y2

10

=1上的點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義可得該橢圓的左右焦點(diǎn)滿足|PA|+|PB|為定值．

解答：（1）解：由e=

2

2

，b²=2，解得c=b=

2

，a=2，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由

OP

=

OM

+2

ON

，得（x₀，y₀）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），
即x₀=x₁+2x₂，y₀=y₁+2y₂，
∵點(diǎn)M，N在橢圓

x2

4

+

y2

2

=1上，
∴x12+2y12=4，x22+2y22=4
設(shè)k_OM，k_ON分別為直線OM，ON的斜率，由題意知，kOM•kON=

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
故x02+2

y

2 0

=(x12+4x22+4x1x2)+2(y12+4y22+4y1y2)
=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2)=20，
即x02+2

y

2 0

=20（定值）　　　　　　　　　　　
（3）證明：由（2）知點(diǎn)P是橢圓

x2

20

+

y2

10

=1上的點(diǎn)，
∵c=

20-10

=

10

，
∴該橢圓的左右焦點(diǎn)A(-

10

，0)、B(

10

，0)滿足|PA|+|PB|=4

5

為定值，
因此存在兩個(gè)定點(diǎn)A，B，使得|PA|+|PB|為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查存在性問(wèn)題的探究，解題的關(guān)鍵是利用向量知識(shí)，將向量坐標(biāo)化．