Question

某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的50位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：

一次購物量n（件）	1≤n≤3	4≤n≤6	7≤n≤9	10≤n≤12	n≥13
顧客數(shù)（人）	x	20	10	5	y
結(jié)算時(shí)間（分鐘/人）	0.5	1	1.5	2	2.5

已知這50位顧客中一次購物量少于10件的顧客占80%．
（1）確定x與y的值；
（2）若將頻率視為概率，求顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（3）在（2）的條件下，若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2分鐘的概率．

Answer 1

分析：（1）由表格中的數(shù)據(jù)計(jì)算出，x，y的值．
（2）求出隨機(jī)變量的分布列，利用分布列求出數(shù)學(xué)期望．
（3）根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的公式，求概率．

解答：（1）依題意得，x+20+10=50×80%，5+y=50×20%，解得x=10，y=5．
（2）該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所以收集的50位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為50的隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得，
P(X=0.5)=

10

50

=0.2，P(X=1)=

20

50

=0.4，P(X=1.5)=

10

50

=0.2，P(X=2)=

5

50

=0.1，P(X=2.5)=

5

50

=0.1．
所以X的分布列為

X	0.5	1	1.5	2	2.5
P	0.2	0.4	0.2	0.1	0.1

X的數(shù)學(xué)期望為EX=0.5×0.2+1×0.4+1.5×0.2+2×0.2+2.5×0.1=1.25．
（3）記“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2分鐘”為事件A，該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時(shí)間為X_i（i=1，2），由于各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，且X₁，X₂的分布列都與X的分布列相同，所以
P（A）=P（X₁=0.5）?P（X₂=0.5）+P（X₁=0.5）?P（X₂=1）+P（X₁=0.5）?P（X₂=1.5）+P（X₁=1）?P（X₂=0.5）+P（X₁=1）?P（X₂=0.5）+P（X₁=1）?P（X₂=1）+P（X₁=1.5）?P（X₂=0.5）
=0.2×0.2+0.2×0.4+0.2×0.2+0.4×0.2+0.4×0.4+0.2×0.2=0.44 為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，利用概率公式分別求出概率，然后求出概率的分布列，利用分布列求期望，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)．