Question

橢圓（a＞b＞0）的一個頂點(diǎn)為A（0，3），離心率
（1）求橢圓方程；
（2）若直線?：y=kx-3與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，且滿足，，求直線?的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，a，b，c的關(guān)系有b=3，e=，a²=b²+c²，解得a=5，b=3．
（2）由題意得AP⊥MN，且P是線段MN的中點(diǎn)．設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、P（x，y）聯(lián)立直線與橢圓的方程的（25k²+9）x²-150kx=0．可得P點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而得直線AP的斜率為，由MN⊥AP，得，可得k的值，進(jìn)而求出 的方程．
解答：解：（1）依題意，有，解得
∴橢圓方程為．
（2）∵，，
∴AP⊥MN，且P是線段MN的中點(diǎn)，
由消去y并整理得，（25k²+9）x²-150kx=0．
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、P（x，y）
則，∴
∴
即
∵k≠0，∴直線AP的斜率為
由MN⊥AP，得，
解得（此時滿足判別式△＞0）
∴直線?的方程為．
點(diǎn)評：求解橢圓方程的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓中的相關(guān)數(shù)值a，b，c之間的關(guān)系，求解直線方程的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平面向量的有關(guān)知識，把向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算問題，此知識點(diǎn)是高考考查的熱點(diǎn)之一．