Question

【題目】已知函數(shù) ，
（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn) 處的切線方程；
（2）當(dāng) 時，求證： ；
（3）若 對任意的 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解： ,所以 ，切點(diǎn)為(0,0) ∴切線為y=x

（2）解：證明：令g(x)= f(x)+x2-x= ex-x-1 ,g(x)= ex-1=0 ∴x=0

所以x (-∞，0)時，g(x)<0, g(x)單調(diào)遞減.x (0，+∞)時，g(x)>0, g(x)單調(diào)遞增

∴g(x)min= g(0)=0 ∴g(x) 0 ∴f(x) -x2+x

（3）解：f(x) kx對任意的x (0,+ ∞)恒成立等價于k< 對任意的x (0,+ ∞)恒成立

令h(x)= , ∴h(x)= 由(2)知x (0,+ ∞)時ex-x-1>0

∴x (0,1)時&#xF06A;&#xF0A2;h(x)<0, (x)單調(diào)遞減，x (1,+ ∞)時&#xF06A;&#xF0A2;h(x)>0, h(x)單調(diào)遞增

∴h(x)min=h(1)=e-2 ∴k<e-2 ∴k的取值范圍(-∞,e-2)

【解析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得出 f ' ( 0 ) = 1 再求出f(0),由直線方程的點(diǎn)斜式得出結(jié)果。(2)根據(jù)題意構(gòu)造 g(x) 對其求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)值等于零求出極點(diǎn)進(jìn)而可得出 g(x) 的單調(diào)性故可求出最小值，即可得證。(3)分離出k得到k與x的關(guān)系式,利用導(dǎo)數(shù)求出 g(x) 的最小值即可得到k<e-2。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．