Question

在平面直角坐標系中，已知直線l：y=-1，定點F（0，1），過平面內(nèi)動點P作PQ丄l于Q點，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

（Ⅰ）求動點P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點P作圓x²+（y-2）²=4的兩條切線，分別交x軸于點B、C，當點P的縱坐標y₀＞4時，試用y₀表示線段BC的長，并求△PBC面積的最小值．

Answer 1

考點：軌跡方程,圓的切線方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用平面向量的數(shù)量積公式，即可求動點P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），B（b，0），C（c，0），不妨設b＞c，可得（y₀-4）b²+4x₀b-4y₀=0，同理有（y₀-4）c²+4x₀c-4y₀=0．　所以b+c=-

4x0

y0-4

，bc=-

4y0

y0-4

，表示出面積，即可求△PBC面積的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設P（x，y），則Q（x，-1），
∵

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，
∴（0，y+1）•（-x，2）=（x，y-1）•（x，-2）． 
即2（y+1）=x²-2（y-1），即得x²=4y．
∴動點P的軌跡曲線E的方程為x²=4y；
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），B（b，0），C（c，0），不妨設b＞c．
直線PB的方程：y=

y0

x0-b

（x-b），化簡得y₀x-（x₀-b）y-y₀b=0．
又圓心（0，2）到PB的距離為2，

|2(x0-b)+y0b|

y02+(x0-b)2

=2，
化簡得（y₀-4）b²+4x₀b-4y₀=0，同理有（y₀-4）c²+4x₀c-4y₀=0．　
所以b+c=-

4x0

y0-4

，bc=-

4y0

y0-4

，
則（b-c）²=

16(x02+y02-4y0)

(y0-4)2

=

16y02

(y0-4)2

．
則b-c=

4y0

y0-4

，
所以S_△ABC=

1

2

（b-c）y₀=2[（y₀-4）+

16

y0-4

+8]≥32．
當y₀-4=

16

y0-4

時，上式取等號，此時x₀=4

2

，y₀=8．
因此S_△ABC的最小值為32．

點評：本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓練了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．