Question

設(shè)函數(shù)f_k（x）=x^k+bx+c（k∈N^*，b，c∈R），g（x）=log_ax（a＞0，a≠1）．
（1）若b+c=1，且f_k（1）=g（

1

4

），求a的值；
（2）若k=2，記函數(shù)f_k（x）在[-1，1]上的最大值為M，最小值為m，求M-m≤4時的b的取值范圍；
（3）判斷是否存在大于1的實數(shù)a，使得對任意x₁∈[a，2a]，都有x₂∈[a，a²]滿足等式：g（x₁）+g（x₂）=p，且滿足該等式的常數(shù)p的取值唯一？若存在，求出所有符合條件的a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）代入得到關(guān)于a的方程解之；
（2）k=2，說明函數(shù)是二次函數(shù)，討論對稱軸x=-

b

2

與區(qū)間的位置關(guān)系，確定最值，得到關(guān)于b的方程，解之；
（3）將等式g（x₁）•g（x₂）=p變形得g（x₁）=p-g（x₂），由x₁，x₂的范圍，得到g（x₁）、g（x₂）的范圍，利用對任意實數(shù)x₁∈[a，2a]，
都有x₂∈[a，a²]得到[log_aa，log_a（2a）]⊆[p-logaa2，p-log_aa]解得即可．

解答： 解：（1）∵b+c=1，且f（1）=g（

1

4

），∴1+b+c=loga

1

4

，∴a=

1

2

；
（2）k=2時，f（x）=x²+bx+c，所以
當對稱軸x=-

b

2

≤-1，即b≥2時，M=f（1）=1+b+c，m=f（-1）=1-b+c，M-m=2b≤4，解得b≤2，∴b=2．
當對稱軸-1＜-

b

2

≤0，即0≤b＜2時，M=f（1）=1+b+c，m=f（-

b

2

）=c-

b2

4

，M-m=b+1+

b2

4

≤4，解得-6≤b≤2，∴0≤b＜2．
當對稱軸0＜-

b

2

＜1，即-2≤b＜0時，M=f（-1）=1-b+c，m=f（-

b

2

）=c-

b2

4

，M-m=1-b+

b2

4

≤4，解得-2≤b≤6，∴-2＜b＜0．
當對稱軸-

b

2

≥1，即b≤-2時，M=f（-1）=1-b+c，m=f（1）=1+b+c，M-m=-2b≤4，解得b≥-2，∴b=-2．
綜上所述：b的取值范圍是-2≤b≤2．
（3）將等式g（x₁）+g（x₂）=p變形得g（x₁）=p-g（x₂），由任意實數(shù)x₁∈[a，2a]，都有x₂∈[a，a²]得到[log_aa，log_a（2a）]⊆[p-logaa2，p-log_aa]，
即[1，1+log_a2]⊆[p-2，p-1]，
∴

p-2≤1 1+loga2≤p-1

，解得2+log_a2=3，∴a=2．

點評：本題考查了二次函數(shù)閉區(qū)間的最值的求法問題以及存在性問題的處理方法．