Question

【題目】定義：已知函數(shù)f（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值為t，若t≤m恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性質(zhì)．例如函數(shù) 在[1，9]上就具有“DK”性質(zhì)．
（1）判斷函數(shù)f（x）=x2﹣2x+2在[1，2]上是否具有“DK”性質(zhì)？說(shuō)明理由；
（2）若g（x）=x2﹣ax+2在[a，a+1]上具有“DK”性質(zhì)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x2﹣2x+2，x∈[1，2]，

對(duì)稱軸x=1，開(kāi)口向上．

當(dāng)x=1時(shí)，取得最小值為f（1）=1，

∴f（x）min=f（1）=1≤1，

∴函數(shù)f（x）在[1，2]上具有“DK”性質(zhì)

（2）解：g（x）=x2﹣ax+2，x∈[a，a+1]，其圖象的對(duì)稱軸方程為 ．

①當(dāng) ，即a≥0時(shí)， ．

若函數(shù)g（x）具有“DK”性質(zhì)，則有2≤a總成立，即a≥2．

②當(dāng) ，即﹣2＜a＜0時(shí)， ．

若函數(shù)g（x）具有“DK”性質(zhì)，則有 總成立，解得a無(wú)解．

③當(dāng) ，即a≤﹣2時(shí)，g（x）min=g（a+1）=a+3．

若函數(shù)g（x）具有“DK”性質(zhì)，則有a+3≤a，解得a無(wú)解．

綜上所述，若g（x）=x2﹣ax+2在[a，a+1]上具有“DK”性質(zhì)，則a≥2

【解析】（1）直接根據(jù)新定義進(jìn)行判斷即可．（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出對(duì)稱軸，對(duì)其進(jìn)行討論，根據(jù)新定義求解．