Question

證明：當x≥0時，f（x）=e^x+1-3x²-4x+2＞0恒成立．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：證明題,導數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出f（x）的導數(shù)，求出極小值點，注意范圍，代入函數(shù)f（x）得到最小值，證得最小值大于0，即可．

解答： 證明：f′（x）=e^x+1-6x-4，
即有f′（1）=e²-10＜0，f′（2）=e³-16＞0，x＞2都有f′（x）＞0，
則f′（x）=0在x＞0有且只有一個正根，由二分法思想，可設(shè)為x₀∈（1，1.7），
則e^x₀+1=6x₀+4，由于x₀為極小值點，在x＞0也為最小值點，
則f（x）最小值為f（x₀）=e^x₀+1-3x₀²-4x₀+2
=6x₀+4-3x₀²-4x₀+2=-3x₀²+2x₀+6
=-3（x₀-

1

3

）²+

19

3

在（1，1.7）上大于0成立，
則有即f（x）的最小值大于0，
則有當x≥0時，f（x）=e^x+1-3x²-4x+2＞0恒成立．

點評：本題考查不等式恒成立問題，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運用導數(shù)求最值，考查運算能力，屬于中檔題．