Question

已知函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，f（-1）=-2，求f（x）在區(qū)間[-2，1]上的值域．

Answer 1

解：任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0
∵f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
即∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）為增函數(shù)．
在條件中，令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x），
再令x=y=0，則f（0）=2 f（0），
∴f（0）=0，故f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數(shù)，
∴f（1）=-f（-1）=2，又f（-2）=2f（-1）=-4，
∴f（x）的值域?yàn)閇-4，2]．
分析：依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，充分利用條件當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞0與f（x+y）=f（x）+f（y），即可判定單調(diào)性，再判斷f（x）奇偶性，即找出f（-x）與f（x）之間的關(guān)系，令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故問題轉(zhuǎn)化為求f（0）即可，可對x、y都賦值為0；最后求f（x）在區(qū)間[-2，1]上的值域即可．
點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其性質(zhì)，在研究其奇偶性時(shí)本題采取了連續(xù)賦值的技巧，這是判斷抽象函數(shù)性質(zhì)時(shí)常用的一種探究的方式，屬于中檔題．