四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=AD=
1
2
CD，AB∥CD，∠ADC=90°．
（1）在側(cè)棱PC上是否存在一點Q，使BQ∥面PAD？說明理由．
（2）求PB與面PCD所成角的正弦值．
考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）延長DA交CB延長線于E，連接PE，由已知可得B為EC中點，進(jìn)而根據(jù)Q為CD中點，推斷出BQ∥PE，最后利用線面平行的判定定理得出BQ∥PAD
（2）令CD=2a，由VB-PCD=VP-BCD，進(jìn)而表示出B到面PCD距離，則sinθ的值可得．
解答： 解：（1）存在Q為PC中點
證明：延長DA交CB延長線于E，連接PE，
∵AB∥CD，AB=
1
2
CD，
∴B為EC中點；
做Q為CP中點，
∴BQ∥PE
又BQ?面PAD，PE?面PAD
∴BQ∥平面PAD
（2）令CD=2a，
VP-BCD=
1
3
|PA|•S△DBC=
1
3
×a×
1
2
×2a×a=
a3
3
，
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵∠ADC=90°
∴CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，
∴PD=
AD2+AP2
=
2
a，
設(shè)B到面PCD距離為d，
∴S△PDC=
1
2
•2a•
2
a=
2
a2
由VB-PCD=VP-BCD=
1
3
•d•
2
a2=
a3
3

∴d=
2
2
a，
故sinθ=
d
PB
=
2
2
a
2
a
=
1
2
點評：本題主要考查了線面平行的判定定理，點到面的距離．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識的綜合運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

等比數(shù)列{an}前n項和Sn中，S3=-7，S6=-63，那么S9的值是（　　）
A、-511B、511
C、-1023D、1023

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在R上定義運算|
 
a
b
 
c
d
|=ad-bc，若|
 
x
-x
 
3
x
|＜|
 
2
1
 
0
2
|成立，則x的取值范圍是（　　）
A、（-4，1）
B、（-1，4）
C、（-∞，-4）∪（1，+∞）
D、（-∞，-1）∪+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若不等式ax2+bx+2＜0的解集為{x|x＜-
1
3
或x＞
1
2
}，則
a-b
a
的值為（　�。�
A、-
1
6
B、
1
6
C、-
7
6
D、
7
6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求：
（1）a1+a2+a3+…+a7；
（2）a1+a3+a5+a7；
（3）a0+a2+a4+a6；
（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）證明：當(dāng)n＞m＞1時，（1+n）m＜（1+m）n；
（Ⅲ）證明：當(dāng)n＞2013，且x1，x2，x3，…，xn∈R+，x1+x2+x3+…+xn=1時，（
x12 
1+x1
+
x22
1+x2
+
x32
1+x3
+…+
xn2
1+xn
） 
1
n
＞（
1
2014
） 
1
2013
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x有兩相等的實數(shù)根1．
（1）若f（0）=2，求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-2，2]的最小值（用a表示）；
（3）當(dāng)a＞0時，若g（x）=f（x）+|x-a|+（2a-1）x，求g（x）在[1，2]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求證：
tanα-sinα
tanαsinα
=
tanαsinα
tanα+sinα
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．
（1）求證：AB∥EF；
（2）求證：平面BCF⊥平面CDEF；
（3）若AB=4，AD=EF=ED=2，CF中點為M，求直線ED與平面MBD所成角的正弦值．

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同步練習(xí)冊答案