Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值；

（3）若，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)解析式求出g（x）的定義域和g′（x），再求出臨界點(diǎn)，求出g′（x）<0和g′（x）>0對應(yīng)的解集，再表示成區(qū)間的形式，即所求的單調(diào)區(qū)間；

（2）先求出f（x）的定義域和f′（x），把條件轉(zhuǎn)化為f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，再對f′（x）進(jìn)行配方，求出在x∈（1，+∞）的最大值，再令f′（x）max≤0求解；

（3）先把條件等價(jià)于“當(dāng)x∈[e，e2]時(shí)，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（2）得f′（x）max，并把它代入進(jìn)行整理，再求f′（x）在[e，e2]上的最小值，結(jié)合（2）求出的a的范圍對a進(jìn)行討論：和，分別求出f′（x）在[e，e2]上的單調(diào)性，再求出最小值或值域，代入不等式再與a的范圍進(jìn)行比較．

由已知函數(shù)的定義域均為，且

（1）函數(shù)，則，

當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，增區(qū)間是；

（2）因在上為減函數(shù)，故在上恒成立，

所以當(dāng)時(shí)，，

又，

故當(dāng)，即時(shí)，,

所以于是，故的最小值為；

（3）命題“若使成立”等價(jià)于：

“當(dāng)時(shí)，有”，

由（2），當(dāng)時(shí)，，∴，

問題等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有”，

①當(dāng)時(shí)，由（2），在上為減函數(shù)，

則，故.

②當(dāng)時(shí)，由于在上為增函數(shù)，

故的值域?yàn)?/span>，即.

由的單調(diào)性和值域知，唯一，使，且滿足：

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；

所以，，.

所以，，與矛盾，不合題意.

綜上，得.