Question

【題目】（本小題滿分12分）

已知函數(shù)， ．

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)時，過原點分別作曲線與的切線， ，已知兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明： ；

(3)設(shè)，當(dāng)， 時，求實數(shù)的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）證明見解析；（3）.

【解析】（1）求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對分類討論可得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）背景為指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)關(guān)于直線對稱，主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究曲線的切線及結(jié)合方程有解零點存在性定理的應(yīng)該用求參數(shù)的問題，得到不等式的證明；（3）考查利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的最值和不等式的恒成立求參數(shù)的范圍問題，求導(dǎo)過程中用到了課后習(xí)題 這個結(jié)論，考查學(xué)生對知識的掌握程度.

（1）依題意，函數(shù)的定義域為，對求導(dǎo)，得．

①若，對一切有，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．

②若，當(dāng)時， ；當(dāng)時， ．

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．

（2）設(shè)切線的方程為，切點為，則，

，所以， ，則．

由題意知，切線的斜率為， 的方程為．

設(shè)與曲線的切點為，則，

所以， ．

又因為，消去和后，整理得．

令，則， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

若，因為， ，所以，

而在上單調(diào)遞減，所以．

若，因為在上單調(diào)遞增，且，則，

所以（舍去）．

綜上可知， ．

（3）， ．

①當(dāng)時，因為，所以，

在上遞增， 恒成立，符合題意．

②當(dāng)時，因為，所以在上遞增，且，則存在，使得．

所以在上遞減，在上遞增，又，所以不恒成立，不合題意．

綜合①②可知，所求實數(shù)的取值范圍是．