【題目】如圖是一個路燈的平面設計示意圖,其中曲線段AOB可視為拋物線的一部分,坐標原點O為拋物線的頂點,拋物線的對稱軸為y軸,燈桿BC可視為線段,其所在直線與曲線AOB所在的拋物線相切于點B.已知AB=2分米,直線軸,點C到直線AB的距離為8分米.燈桿BC部分的造價為10元/分米;若頂點O到直線AB的距離為t分米,則曲線段AOB部分的造價為
元. 設直線BC的傾斜角為,以上兩部分的總造價為S元.
(1)①求t關于的函數(shù)關系式;
②求S關于的函數(shù)關系式;
(2)求總造價S的最小值.
【答案】(1) ① .②
.
(2) 元.
【解析】分析:(1)①先設曲線段所在的拋物線的方程為
,代入點B可得a的值,然后求出切線BC的斜率,轉化為傾斜角從建立t與
的等式關系;②根據(jù)t與
的關系得出曲線段
部分的造價為
元,然后求出BC段的造價,故
兩段的造價之和;(2)由S的表達式根據(jù)導數(shù)確定函數(shù)的單調性,即可求得最小值.
詳解:
(1)①設曲線段所在的拋物線的方程為
,將
代入
得
,故拋物線的方程為
,求導得
,故切線
的斜率為
,而直線
的傾斜角為,故
,t關于的函數(shù)關系為
.
②因為,所以曲線段
部分的造價為
元,
因為點到直線
的距離為8分米,直線
的傾斜角為,故
,
部分的造價為
,
得兩部分的總造價為,
.
(2),
,
其中恒成立,令
得
,設
且
為銳角,
列表如下:
0 | |||
極小 |
故當時
有最小值,此時
,
,
,
故總造價S的最小值為元.
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【題目】已知圖像上有一最低點
,若圖像上各點縱坐標不變,橫坐標縮為原來的
倍,再向左平移
個單位得
,又
的所有根從小到大依次相差
個單位,則
的解析式為__________.
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【題目】已知拋物線:
(
)的焦點為
,拋物線上存在一點
到焦點的距離為3,且點
在圓
:
上.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)已知橢圓:
(
)的一個焦點與拋物線
的焦點重合,且離心率為
.直線
:
交橢圓
于
,
兩個不同的點,若原點
在以線段
為直徑的圓的外部,求實數(shù)
的取值范圍.
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【題目】(文科學生做)已知數(shù)列滿足
.
(1)求,
,
的值,猜想并證明
的單調性;
(2)請用反證法證明數(shù)列中任意三項都不能構成等差數(shù)列.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP,E為棱PD中點.
(1)求證:PD⊥平面ABE;
(2)若F為AB中點, ,試確定λ的值,使二面角P﹣FM﹣B的余弦值為-
.
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【題目】如圖所示,某街道居委會擬在地段的居民樓正南方向的空白地段
上建一個活動中心,其中
米.活動中心東西走向,與居民樓平行. 從東向西看活動中心的截面圖的下部分是長方形
,上部分是以
為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶的采光要求,活動中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長
不超過
米,其中該太陽光線與水平線的夾角
滿足
.
(1)若設計米,
米,問能否保證上述采光要求?
(2)在保證上述采光要求的前提下,如何設計與
的長度,可使得活動中心的截面面積最大?(注:計算中
取3)
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【題目】數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+…an=2n﹣an(n∈N+).數(shù)列{bn}滿足bn= ,則{bn}中的最大項的值是 .
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【題目】水是地球上寶貴的資源,由于介個比較便宜在很多不缺水的城市居民經常無節(jié)制的使用水資源造成嚴重的資源浪費.某市政府為了提倡低碳環(huán)保的生活理念鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標準x(噸),一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費,超出x的部分按議價收費.為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),[1,1.5),…,[4,4.5)分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)若全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為3.6萬,試估計全市有多少居民?并說明理由;
(2)若該市政府擬采取分層抽樣的方法在用水量噸數(shù)為[1,1.5)和[1.5,2)之間選取7戶居民作為議價水費價格聽證會的代表,并決定會后從這7戶家庭中按抽簽方式選出4戶頒發(fā)“低碳環(huán)保家庭”獎,設X為用水量噸數(shù)在[1,1.5)中的獲獎的家庭數(shù),Y為用水量噸數(shù)在[1.5,2)中的獲獎家庭數(shù),記隨機變量Z=|X﹣Y|,求Z的分布列和數(shù)學期望.
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