Question

設(shè)過拋物線y²=4x的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，且AB中點為M，則點M的軌跡方程是    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標(biāo)，進而設(shè)出過焦點弦的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理表示出x₁+x₂，進而根據(jù)直線方程求得y₁+y₂，進而求得焦點弦的中點的坐標(biāo)的表達式，消去參數(shù)k，則焦點弦的中點軌跡方程可得．
解答：解：由題知拋物線焦點為（1，0）
設(shè)焦點弦方程為y=k（x-1）
代入拋物線方程得所以k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韋達定理：
x₁+x₂=
所以中點M橫坐標(biāo)：x==
代入直線方程，中點M縱坐標(biāo)：
y=k（x-1）=．即中點M為（ ，）
消參數(shù)k，得其方程為：y²=2x-2，
當(dāng)線段PQ的斜率存在時，線段PQ中點為焦點F（1，0），滿足此式，
故答案為：y²=2（x-1）
點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．