Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

x-1

x+1

（其中a＞0且a≠1），
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不必寫出證明過程）．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，求出f（x）的定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，判斷f（x）是奇函數(shù)；
（3）討論a＞1和1＞a＞0時，f（x）的增減性即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log_a

x-1

x+1

（a＞0且a≠1），
∴

x-1

x+1

＞0，
解答x＞1，或x＜-1；
∴f（x）的定義域是（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）∵f（x）的定義域是（-∞，-1）∪（1，+∞），
則對定義域內(nèi)的x，都有
f（-x）=log_a

-x-1

-x+1

=log_a

x+1

x-1

=-log_a

x-1

x+1

=-f（x），
∴f（x）是定義域上的奇函數(shù)；
（3）當a＞1時，f（x）在區(qū)間（-∞，-1），和（1，+∞）上是增函數(shù)；
當1＞a＞0時，f（x）在區(qū)間（-∞，-1），和（1，+∞）上是減函數(shù)；
∴a＞1時，f（x）的增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞）；
1＞a＞0時，f（x）的減區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞）．

點評：本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判斷問題，是基礎(chǔ)題．