四面體ABCD中,有如下命題:
①若AC⊥BD,AB⊥CD則AD⊥BC;
②若E、F、G分別是BC、AB、CD的中點(diǎn),則∠FEG的大小等于異面直線AC與BD所成角的大;
③若點(diǎn)O是四面體ABCD外接球的球心,則O在平面ABD上的射影是△ABD的外心;
④若四個(gè)面是全等的三角形,則四面體ABCD是正四面體.
其中正確命題的序號是    (填上所有正確命題的序號).
【答案】分析:本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的結(jié)構(gòu)特征,及異面直線及其所成的角,線面垂直之間的轉(zhuǎn)化,正四面體的判定等知識(shí)點(diǎn),根據(jù)上述知識(shí)對四個(gè)答案逐一進(jìn)行判斷,易得到答案.
解答:解:①若AC⊥BD,AB⊥CD則AD⊥BC
則連接各棱的中點(diǎn)后,我們易得到一個(gè)直三棱柱,
進(jìn)而易得到AD⊥BC,故①正確;
②若E、F、G分別是BC、AB、CD的中點(diǎn),
則∠FEG的大小等于異面直線AC與BD所成角或與異面直線AC與BD所成角互補(bǔ),故②錯(cuò)誤;
③若點(diǎn)O是四面體ABCD外接球的球心,
則點(diǎn)O到平面ABD三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,利用勾股定理易得
點(diǎn)O在平面ABD上的射影到ABD三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,即為△ABD的外心,故③正確;
④若四個(gè)面是全等的三角形,但不一定等邊三角形,故四面體ABCD也不一定是正四面體,故④錯(cuò)誤.
故答案為:①③
點(diǎn)評:我們在求兩條異面直線的夾角時(shí)經(jīng)常用平移的方法,構(gòu)造三角形,進(jìn)而解三角形求出夾角,但根據(jù)等解定理,構(gòu)造的三角形中的角可能是銳角也可能是鈍角,但兩條直線的夾角不能為鈍角,故三角形中形成的角可能與線線夾角相等也可能互補(bǔ).
練習(xí)冊系列答案
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14、四面體ABCD中,有如下命題:①若AC⊥BD,AB⊥CD則AD⊥BC;②若E、F、G分別是BC、AB、CD的中點(diǎn),則∠FEG的大小等于異面直線AC與BD所成角的大。虎廴酎c(diǎn)O是四面體ABCD外接球的球心,則O在平面ABD上的射影是△ABD的外心;④若四個(gè)面是全等的三角形,則四面體ABCD是正四面體.其中正確命題的序號是
①③
(填上所有正確命題的序號).

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在棱長為1米的正四面體ABCD中,有一小蟲從頂點(diǎn)A處開始按以下規(guī)則爬行,在每一頂點(diǎn)處以同樣的概率選擇通過這個(gè)頂點(diǎn)的三條棱之一,并一直爬到這條棱的盡頭.記小蟲爬了n米后重新回到點(diǎn)A的概率為Pn.則P4=
7
27
7
27

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四面體ABCD中,有如下命題

①若AC⊥BD,AB⊥CD則AD⊥BC;②若E、F、G分別是BC、AB、CD的中點(diǎn),則∠FEG的大小等于異面直線AC與BD所成角的大;③若點(diǎn)O是四面體ABCD外接球的球心,則O在面ABD上的射影是△ABD的外心;④若四個(gè)面是全等的三角形,則ABCD為正四面體,其中正確的是________________.(填上所有正確命題的序號)

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四面體ABCD中,有如下命題:①若AC⊥BD,AB⊥CD,則AD⊥BC;

②若E、F、G分別是BC、AB、CD的中點(diǎn),則∠FEG的大小等于異面直線AC與BD所成角的大小;

③若四面體ABCD有內(nèi)切球,則

④若四個(gè)面是全等的三角形,則ABCD為正四面體。

其中正確的是:   (填上所有正確命題的序號)

 

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