Question

14、四面體ABCD中，有如下命題：①若AC⊥BD，AB⊥CD則AD⊥BC；②若E、F、G分別是BC、AB、CD的中點(diǎn)，則∠FEG的大小等于異面直線AC與BD所成角的大小；③若點(diǎn)O是四面體ABCD外接球的球心，則O在平面ABD上的射影是△ABD的外心；④若四個(gè)面是全等的三角形，則四面體ABCD是正四面體．其中正確命題的序號(hào)是

①③

（填上所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：本題考察的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的結(jié)構(gòu)特征，及異面直線及其所成的角，線面垂直之間的轉(zhuǎn)化，正四面體的判定等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)上述知識(shí)對(duì)四個(gè)答案逐一進(jìn)行判斷，易得到答案．

解答：解：①若AC⊥BD，AB⊥CD則AD⊥BC
則連接各棱的中點(diǎn)后，我們易得到一個(gè)直三棱柱，
進(jìn)而易得到AD⊥BC，故①正確；
②若E、F、G分別是BC、AB、CD的中點(diǎn)，
則∠FEG的大小等于異面直線AC與BD所成角或與異面直線AC與BD所成角互補(bǔ)，故②錯(cuò)誤；
③若點(diǎn)O是四面體ABCD外接球的球心，
則點(diǎn)O到平面ABD三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，利用勾股定理易得
點(diǎn)O在平面ABD上的射影到ABD三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即為△ABD的外心，故③正確；
④若四個(gè)面是全等的三角形，但不一定等邊三角形，故四面體ABCD也不一定是正四面體，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng)：我們?cè)谇髢蓷l異面直線的夾角時(shí)經(jīng)常用平移的方法，構(gòu)造三角形，進(jìn)而解三角形求出夾角，但根據(jù)等解定理，構(gòu)造的三角形中的角可能是銳角也可能是鈍角，但兩條直線的夾角不能為鈍角，故三角形中形成的角可能與線線夾角相等也可能互補(bǔ)．