Question

已知數列（a_n}為S_n且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1 （n≥2）
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=（2n-1）a_n，求數列{b_n}前n和T_n
（Ⅲ）若c_n=tⁿ[lg（2t）ⁿ+lga_n+2]（0＜t＜1），且數列{c_n}中的每一項總小于它后面的項，求實數t取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先根據a_n=S_n-S_n-1得

an

an-1

=

1

2

，判斷出數列為等比數列，根據等比數列通項公式求解；
（II）根據數列的特點可知直接利用錯位相減法求數列的和T_n；
（III）將不等式轉化成恒成立問題，用參變量分離求解得到結果．

解答：解：（Ⅰ）3S_n-3S_n-1=5a_n-a_n-1，∴2a_n=a_n-1，

an

an-1

=

1

2

∵a₁=2，∴an=2(

1

2

)n-1=22-n（n∈N^*）
（Ⅱ）b_n=（2n-1）2^2-n，

Tn=1× 2+3×20+5×2-1+…+(2n-1)×22-n 1 2 Tn=     1×20+3×2-1+…+(2n-3)×22-n+(2n-1)×21-n

1

2

Tn=2+2×(20+2-1+…+22-n) -(2n-1)×21-n=2+

2[1-(2-1)n-1]

1-2-1

-(2n-1)×21-n
∴T_n=12-（2n+3）×2^2-n（n∈N^*）
（Ⅲ）c_n=tⁿ（nlg2+nlgt+lg2^-n）=ntⁿlgt，∵c_n＜c_n+1，∴ntⁿlgt＜（n+1）tⁿ⁺¹lgt
∵0＜t＜1，∴nlgt＜t（n+1）lgt
∵lgt＜0，∴n＞t（n+1）?t＜

n

n+1

，
∵n∈N^*，

n

n+1

=

1

1+ 1 n

≥

1

2

，∴0＜t＜

1

2

點評：本題考查了數列的綜合應用，涉及了數列通項公式的求解，數列的錯位相減飯求和，以及數列與恒成立的綜合應用問題．對于數列高考要求教高，要求學生能靈活的應用數列的相關性質，能夠解決數列與函數，數列與不等式等綜合問題．屬中檔題．