Question

已知函數f(x)在（-∞，+∞）上是增函數，a、b∈R，對命題若a+b≥0，則f(a）+f(b)≥f(-a）+f（-b）”．    

(1)寫出逆命題，判斷其真假，并證明你的結論；    
(2)寫出逆否命題，判斷其真假，并證明你的結論．

Answer 1

（1）逆命題：若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），則a+b≥0，為真命題．
用間接法證明：
假設a+b<0，則a<-b，b<-a．    
∵f（x）在（-∞，+∞）上為增函數，則f（a）< f（-b），f（b）<f（-a），    
∴f（a）+f（b）<f（-a）+f（-b）．
這與題設相矛盾，所以逆命題為真命題．    
（2）逆否命題：若f（a）+f（b）<f（-a）+f（-b），則a+b<0，為真命題．因為一個命題它的逆否命題，所以可證明原命題為真命題，    
∵a+b≥0，
∴a≥-b,b≥-a    
又∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函數，    
∴f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a），    
∴f（a）+f（b）≥f（-a）+ f（-b），
所以逆否命題為真命題．