Question

已知函數(shù)f(x)=

2

3x-1

+m是奇函數(shù)，
（1）求常數(shù)m的值；
（2）求f （x）的值域；
（3）證明f（x）在 （-∞，0）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后根據(jù)奇函數(shù)的定義建立等式關(guān)系，即可求出m的值；
（2）將3^x用y表示表示，然后根據(jù)3^x的有界性建立不等關(guān)系，可求出y的取值范圍，即為函數(shù)的值域；
（3）設(shè) x₁＜x₂＜0，然后計(jì)算f（x₁）-f（x₂），通過(guò)通分化簡(jiǎn)變形從而確定符號(hào)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義可得結(jié)論．

解答：解：（1）定義域  （-∞，0）∪（0，+∞）（1分）
f(x)=

2

3x-1

+m是奇函數(shù) 
且f(-x)=

2

3-x-1

+m=

2•3x

1-3x

+m
f(x)+f(-x)=

2

3x-1

+m+

2•3x

1-3x

+m=-2+2m=0
∴m=1     （3分）
（2）f(x)=

2

3x-1

+1=

3x+1

3x-1

由y=

3x+1

3x-1

得3x=

y+1

y-1

＞0
∴y＜-1或y＞1
值域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）．（4分）
（3）設(shè) x₁＜x₂＜0，（1分）
則f(x1)-f(x2)=

3x1+1

3x1-1

-

3x2+1

3x2-1

=

2

3x1-1

-

2

3x2-1

=

2(3x2-3x1)

(3x1-1)(3x2-1)

（2分）
∵3＞1，x₁＜x₂＜0，
∴3x1＜3x2＜1⇒3x2-3x1＞0，3x1-1＜0，3x2-1＜0

2(3x2-3x1)

(3x1-1)(3x2-1)

＞0（2分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
函數(shù)在（-∞，0）上是減函數(shù)．（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)的值域和函數(shù)的單調(diào)性的判定，屬于中檔題．