已知函數(shù)f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)(a>0且a≠1)
(1)若不等式|f(x)|<2的解集為數(shù)學(xué)公式,求a的值;
(2)(文)設(shè)f(x)的反函數(shù)為f-1(x),若關(guān)于x的不等式f-1(x)<m(m∈R)有解,求m的取值范圍.
(3)(理)設(shè)f(x)的反函數(shù)為f-1(x),若數(shù)學(xué)公式,解關(guān)于x的不等式f-1(x)<m(m∈R).

解:(1)根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,得
f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)=(-1<x<1)
令t=,得
故t在區(qū)間(-1,1)上是關(guān)于x的單調(diào)增函數(shù),
不等式|f(x)|<2的解集為,分兩種情況加以討論:
①當(dāng)a>1時(shí),
∴l(xiāng)oga-loga=-2??
②當(dāng)0<a<1時(shí),,類似①的方法可得
綜上所述,得實(shí)數(shù)a的值為;
(2)∵?
∴f-1(x)==1-
∵1+ax>1

欲使關(guān)于x的不等式f-1(x)<m(m∈R)有解,m必須大于f-1(x)的最小值,所以m≥-1
故m的取值范圍是[-1,+∞).
(3)由(2)得?a=2,
對(duì)于關(guān)于x的不等式f-1(x)<m,由(2)知的f-1(x)的值域?yàn)椋?1,1)
故分3種情形加以討論:
①當(dāng)m≥1時(shí),有f-1(x)<1≤m,所以f-1(x)<m恒成立,得不等式的解集是R;
②當(dāng)-1<m<1,f-1(x)<m?1-<m??
∴不等式的解集是x∈(-∞,
由(2)知不等式f-1(x)<m的解集是空集.
綜上所述:當(dāng)m≤-1時(shí)原不等式的解集是空集,當(dāng)-1<m<1時(shí)原不等式的解集是x∈(-∞,);當(dāng)m≥1時(shí),原不等式的解集是R.
分析:(1)根據(jù)題意,用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則將函數(shù)化為,然后將真數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)用求導(dǎo)數(shù)的方法討論其單調(diào)性,得出真數(shù)是關(guān)于x的增函數(shù).最后分a>1和0<a<1兩種情況對(duì)原不等式的解集加以討論,從而可以得出實(shí)數(shù)a的值;
(2)用解方程的方法,將x用y來(lái)表示,從而得出函數(shù)f-1(x)的表達(dá)式,再討論得其值域?yàn)椋?1,1),欲使關(guān)于x的不等式f-1(x)<m(m∈R)有解,m必須大于f-1(x)的最小值,從而得到m≥-1;
(3)先解方程,得到a=2,從而得到函數(shù)f-1(x)的表達(dá)式,再結(jié)合(2)的函數(shù)值域的結(jié)果,可以分:①當(dāng)m≥1時(shí),②當(dāng)-1<m<1,③當(dāng)m≤-1時(shí),三種情況下討論不等式f-1(x)<m的解集情況,最后綜合可得答案.
點(diǎn)評(píng):本題以對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)為例,考查了函數(shù)的單調(diào)性與值域、反函數(shù)和不等式的解法等等知識(shí)點(diǎn),屬于難題.本題的綜合性較強(qiáng),在解題時(shí)注意分類討論與轉(zhuǎn)化化歸思路的適時(shí)恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用.
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已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當(dāng)a=1時(shí),若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點(diǎn),求k的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對(duì)任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí),又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問(wèn):當(dāng)x≥e時(shí),對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
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已知函數(shù)f(x)=xlnx
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(Ⅱ)若直線l過(guò)點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對(duì)稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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