如圖1,在△ABC中,點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn),直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),若點(diǎn)B,P在直線a的異側(cè),BM⊥直線a于點(diǎn)M.CN⊥直線a于點(diǎn)N,連接PM,PN.
(1)延長MP交CN于點(diǎn)E(如圖2).
①求證:△BPM≌△CPE;
②求證:PM=PN;
(2)若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),點(diǎn)B,P在直線a的同側(cè),其它條件不變,此時(shí)PM=PN還成立嗎?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由;
(3)若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時(shí),其它條件不變,請直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時(shí)PM=PN還成立嗎?不必說明理由.
(1)結(jié)合三角形的邊和角來證明全等同時(shí)得到線段的對應(yīng)相等的證明。
(2) PM="PN" 成立,同樣是借助于三角形的全等來證明。
(3) “四邊形MBCN是矩形,則PM=PN成立”
【解析】
試題分析:(1)證明:①如圖2:
∵BM⊥直線a于點(diǎn)M,CN⊥直線a于點(diǎn)N,
∴∠BMN=∠CNM=90°,
∴BM∥CN,
∴∠MBP=∠ECP,
又∵P為BC邊中點(diǎn),
∴BP=CP,
又∵∠BPM=∠CPE,
∴△BPM≌△CPE, 3分
②∵△BPM≌△CPE,
∴PM=PE∴PM="1" 2 ME,
∴在Rt△MNE中,PN="1" 2 ME, 4分
∴PM=PN.
(2)解:成立,如圖3.
證明:延長MP與NC的延長線相交于點(diǎn)E,
∵BM⊥直線a于點(diǎn)M,CN⊥直線a于點(diǎn)N,
∴∠BMN=∠CNM=90°∴∠BMN+∠CNM=180°,
∴BM∥CN∴∠MBP=∠ECP, 6分
又∵P為BC中點(diǎn),
∴BP=CP,
又∵∠BPM=∠CPE,
∴△BPM≌△CPE,
∴PM=PE,
∴PM="1" 2 ME,
則Rt△MNE中,PN="1" 2 ME,
∴PM=PN. 8分
(3)解:如圖4,
四邊形M′BCN′是矩形,
根據(jù)矩形的性質(zhì)和P為BC邊中點(diǎn),得到△M′BP≌△N′CP, 9分
得PM′=PN′成立.即“四邊形MBCN是矩形,則PM=PN成立”. 10分
考點(diǎn):相似三角形
點(diǎn)評:解決該試題的關(guān)鍵是對于相似三角形的性質(zhì)的熟練運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題。
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圖1-9
A.△AED∽△ACB B.△AEB∽△ACD
C.△BAE∽△ACE D.△AEC∽△DAC
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