Question

（2013•廣西一模）已知函數(shù)f（x）=

1-sin2x

1-cos2( π 2 -x)

（1）若tanx=-2，求f（x）的值
（2）求函數(shù)y=cotx[f（x）]的定義域和值域．

Answer 1

分析：（1）利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，將f（x）化簡(jiǎn)可得f（x）=tan²x-2tanx+1，代入tanx=-2即可得到f（x）的值；
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，化簡(jiǎn)得y=cotx[f（x）]=tanx+cotx-2，根據(jù)正切、余切函數(shù)的定義域，算出x的取值范圍，即得函數(shù)的定義域；最后根據(jù)基本不等式求最值，可得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）f（x）=

1-sin2x

1-cos2( π 2 -x)

=

(sinx-cosx)2

1-sin2x

=

sin2x-2sinxcosx+cos2x

cos 2x

∴f（x）=tan²x-2tanx+1
∵tanx=-2，
∴f（x）=（-2）²-2×（-2）+1=9；
（2）y=cotx[f（x）]=cotx（tan²x-2tanx+1）=tanx+cotx-2
∵要使tanx、cotx有意義，須滿足x≠

π

2

+kπ且x≠kπ，k∈Z
∴函數(shù)y=cotx[f（x）]的定義域?yàn)閧x|x≠

1

2

kπ，k∈Z}
∵|tanx+cotx|≥2

tanx•cotx

=2
∴tanx+cotx≥2或tanx+cotx≤-2
由此可得y=tanx+cotx-2的取值范圍為（-∞，-4]∪[0，+∞）
綜上所述，函數(shù)y=cotx[f（x）]的定義域是{x|x≠

1

2

kπ，k∈Z}，值域?yàn)椋?∞，-4]∪[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)一個(gè)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值，考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用函數(shù)的定義域與值域求法等知識(shí)，屬于中檔題．