Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓的離心率為其左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)
則由                                1分
由得              2分
即
所以c="1        " 3分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823181614262762.gif" style="vertical-align:middle;" />        5分
因此所求橢圓的方程為：      6分
（2）動(dòng)直線的方程為：
由得                
設(shè)
則   
假設(shè)在y上存在定點(diǎn)M（0，m），滿足題設(shè)，則
 
由假設(shè)得對(duì)于任意的恒成立，
即解得m=1。                               
因此，在y軸上存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)，
點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）       
（另解 令K＝0 代入得m＝1 或m＝，把其都代入。其中m＝1時(shí)恒成立；m＝時(shí)不恒成立。因此，在y軸上存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)， 點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）  

略