(2012•福建)函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義,若對任意x1,x2∈[a,b],有f(
x1+x2
2
) ≤
1
2
[f(x1) +f(x2) ]
則稱f(x)在[a,b]上具有性質P.設f(x)在[1,3]上具有性質P,現(xiàn)給出如下命題:
①f(x)在[1,3]上的圖象是連續(xù)不斷的;
②f(x2)在[1,
3
]上具有性質P;
③若f(x)在x=2處取得最大值1,則f(x)=1,x∈[1,3];
④對任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有f(
x1+x2+x3+x4
4
) ≤
1
4
[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]
其中真命題的序號是( 。
分析:根據(jù)題設條件,分別舉出反例,說明①和②都是錯誤的;同時證明③和④是正確的.
解答:解:在①中,反例:f(x)=
(
1
2
)
x
,1≤x<3
2,x=3
在[1,3]上滿足性質P,
但f(x)在[1,3]上不是連續(xù)函數(shù),故①不成立;
在②中,反例:f(x)=-x在[1,3]上滿足性質P,但f(x2)=-x2在[1,
3
]上不滿足性質P,
故②不成立;
在③中:在[1,3]上,f(2)=f(
x+(4-x)
2
)≤
1
2
[f(x)+f(4-x)]

f(x)+f(4-x)≥2
f(x)≤f(x)max=f(2)=1
f(4-x)≤f(x)max=f(2)=1
,
故f(x)=1,
∴對任意的x1,x2∈[1,3],f(x)=1,
故③成立;
在④中,對任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],
f(
x1+x2+x3+x4
4
)
=f(
1
2
(x1+x2)+
1
2
(x3+x4)
2
)

1
2
[f(
x1+x2
2
)+f(
x3+x4
2
 )]

1
2
[
1
2
(f(x1 )+f(x2))+
1
2
(f(x3)+f(x4))]

=
1
4
[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],

f(
x1+x2+x3+x4
4
) ≤
1
4
[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],
故④成立.
故選D.
點評:本題考查的知識點為函數(shù)定義的理解,說明一個結論錯誤時,只需舉出反例即可.說明一個結論正確時,要證明對所有的情況都成立.
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.
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.
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[-
5
2
,-
3
2
]
[-
5
2
,-
3
2
]

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