【題目】如圖所示,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=CD=AB,∠ABC=60°,將三角形ABD沿BD折起,使點A在平面BCD上的投影G落在BD上.
(1)求證:平面ACD⊥平面ABD;
(2)求二面角G﹣AC﹣D的平面角的余弦值.
【答案】
(1)解:在等腰梯形ABCD中,∵AD∥BC,AD=CD=AB,∠ABC=60°,∴∠BAD=120°,從而∠ABD=∠ADB=30°,可得∠BDC=90°,
在三棱錐A﹣BCD中,∵點A在平面BCD上的投影G落在BD上,∴AG⊥BD,于是G為BD中點.
∵ ∴CD⊥面ABD,又CD面ADC,∴平面ACD⊥平面ABD
(2)解:由(1)得AG⊥面BCD,且G為BD中點,CD⊥面ABD,
取BC中點M,則MG∥CD,于是以G為原點,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系G﹣xyz,
設(shè)AB=1,則BD= ,BC=2,CD=1,于是A(0,0, ),B( ,0,0).,C(﹣ ,1,0),D(﹣ ,0,0)
, .
設(shè)面AGC的法向量為 ,由 ,取 ,
設(shè)面ADC的法向量為 ,由 ,取
cos< , >= .
二面角G﹣AC﹣D的平面角的余弦值為
【解析】(1)在等腰梯形ABCD中,可得∠ABD=∠ADB=30°,∠BDC=90°,在三棱錐A﹣BCD中,由點A在平面BCD上的投影G落在BD上,得CD⊥面ABD,又CD面ADC,即平面ACD⊥平面ABD;(2)取BC中點M,則MG∥CD,于是以G為原點,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系G﹣xyz,設(shè)AB=1,則BD= ,BC=2,CD=1,于是A(0,0, ),B( ,0,0),C(﹣ ,1,0),D(﹣ ,0,0),利用法向量求解.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識,掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=blnx,g(x)=ax2﹣x(a∈R).
(1)若曲線f(x)與g(x)在公共點A(1,0)處有相同的切線,求實數(shù)a、b的值;
(2)在(1)的條件下,證明f(x)≤g(x)在(0,+∞)上恒成立;
(3)若a=1,b>2e,求方程f(x)﹣g(x)=x在區(qū)間(1,eb)內(nèi)實根的個數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著,內(nèi)容極為豐富,書中有如下問題:“今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等,問各得幾何.”意思是:“5人分取5錢,各人所得錢數(shù)依次成等差數(shù)列,其中前2人所得錢數(shù)之和與后3人所得錢數(shù)之和相等.”,則其中分得錢數(shù)最多的是( )
A. 錢
B.1錢
C. 錢
D. 錢
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是以O為中心的菱形,底面ABCD,,,M為BC上一點.
當(dāng)BM等于多少時,平面POM?
在滿足的條件下,若,求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】去年“十一”期間,昆曲高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在曲靖收費站從7座以下小型汽車中按進收費站的先后順序,每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40輛汽車進行抽樣調(diào)查,將他們在某段高速公路的車速()分成六段:,,,,,后,得到如圖的頻率分布直方圖.
(I)調(diào)查公司在抽樣時用到的是哪種抽樣方法?
(II)求這40輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值;
(III)若從這40輛車速在的小型汽車中任意抽取2輛,求抽出的2輛車車速都在的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對任意的x,y∈(0,+∞),不等式ex+y﹣4+ex﹣y+4+6≥4xlna恒成立,則正實數(shù)a的最大值是( )
A.
B.
C.e
D.2e
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡稱,是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念,記交通指數(shù)為T,其范圍為[0,10],分為五個級別,T∈[0,2)暢通;T∈[2,4)基本暢通;T∈[4,6)輕度擁堵;T∈[6,8)中度擁堵;T∈[8,10]嚴(yán)重擁堵.早高峰時段(T≥3),從某市交通指揮中心隨機選取了三環(huán)以內(nèi)的50個交通路段,依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如右圖. (Ⅰ)這50個路段為中度擁堵的有多少個?
(Ⅱ)據(jù)此估計,早高峰三環(huán)以內(nèi)的三個路段至少有一個是嚴(yán)重擁堵的概率是多少?
(III)某人上班路上所用時間若暢通時為20分鐘,基本暢通為30分鐘,輕度擁堵為36分鐘;中度擁堵為42分鐘;嚴(yán)重擁堵為60分鐘,求此人所用時間的數(shù)學(xué)期望.
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