Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，

m

=（2a+c，b），

n

=（cosB，cosC），且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）設(shè)f（x）=2sinxcosxcos（A+C）-

3

2

cos2x，如果當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，不等式f（x）+λ≥0恒成立，求λ的最小值；
（3）在（2）的條件下，若將f（x）圖象向左平移t（t＞0）個(gè)單位后，所得圖象為偶函數(shù)圖象；將f（x）圖象向右平移s（s＞0）個(gè)單位后，所得圖象為奇函數(shù)圖象，求s+t的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系，即可求角B的大小；
（2）利用輔助角公式將f（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)將不等式f（x）+λ≥0進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求函數(shù)的最值即可求λ的最小值；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的平移關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性求出s，t的最小值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵

m

=（2a+c，b），

n

=（cosB，cosC），且

m

⊥

n

．
∴（2a+c）cosB+bcosC=0，
即2acosB+ccosB+bcosC=0，
由正弦定理得2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
即2sinAcosB+sin（C+B）=0，
∴sinA（2cosB+1）=0，
在三角形中，2cosB+1=0，即cosB=-

1

2

，解得B=

2π

3

．
（2）∵B=

2π

3

，∴A+C=

π

3

，
f（x）=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin（2x-

π

3

），
當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
要使f（x）+λ≥0恒成立，
即f（x）≥-λ，
則-λ≥-

3

2

，
即λ≤

3

2

，即λ的最小值是

3

2

．
（3）將f（x）=sin（2x-

π

3

）圖象向左平移t（t＞0）個(gè)單位后，所得圖象為f（x+t）=sin[2（x+t）-

π

3

]=sin（2x+2t-

π

3

），
要使f（x+t）是偶函數(shù)，則2t-

π

3

=kπ+

π

2

，即t=

kπ

2

+

5π

12

，∵t＞0，
∴t的最小值為

5π

12

．
f（x）=sin（2x-

π

3

）圖象向右平移s（s＞0）個(gè)單位后，所得圖象為f（x-s）=sin[2（x-s）-

π

3

]=sin（2x-2s-

π

3

），
要使f（x-s）是奇函數(shù)，則2s+

π

3

=kπ，即s=

kπ

2

-

π

6

，
∵s＞0，
∴s的最小值為

π

3

，
則．s+t的最小值為

5π

12

+

π

3

=

3π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及輔助角公式的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．