Question

設函數(shù)f(x)＝x³＋2ax²＋bx＋a，g(x)＝x²－3x＋2，其中x∈R，a、b為常數(shù)，已知曲線y＝f(x)與y＝g(x)在點(2,0)處有相同的切線l.

(1)求a、b的值，并寫出切線l的方程；

(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三個互不相同的實根0、x₁、x₂，其中x₁<x₂，且對任意的x∈[x₁，x₂]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解析 (1)f′(x)＝3x²＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3，由于曲線y＝f(x)與y＝g(x)在點(2,0)處有相同的切線，故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1，由此解得a＝－2，b＝5；

切線l的方程為：x－y－2＝0.

(2)由(1)得f(x)＋g(x)＝x³－3x²＋2x，依題意得：方程x(x²－3x＋2－m)＝0有三個互不相等的根0，x₁，x₂，故x₁，x₂是方程x²－3x＋2－m＝0的兩個相異實根，所以Δ＝9－4(2－m)>0⇒m>－；

又對任意的x∈[x₁，x₂]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立，特別地，取x＝x₁時，

f(x₁)＋g(x₁)－mx₁<－m成立，即0<－m⇒m<0，由韋達定理知：x₁＋x₂＝3>0，x₁x₂＝2－m>0，故0<x₁<x₂，對任意的x∈[x₁，x₂]，有x－x₂≤0，x－x₁≥0，x>0，則f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x₁)(x－x₂)≤0；

又f(x₁)＋g(x₁)－mx₁＝0，

所以函數(shù)在x∈[x₁，x₂]上的最大值為0，于是當m<0時對任意的x∈[x₁，x₂]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立．綜上：m的取值范圍是.