Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E，F(xiàn)分別是線段AB．BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PF⊥FD；
（Ⅱ）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A-PD-F的余弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD？若存在，請找出點(diǎn)G的位置并加以說明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）連接AF，證明DF⊥平面PAF，即可證明PF⊥FD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，確定平面PFD的法向量、平面PFD的法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角A-PD-F的余弦值；
（Ⅲ）解法1：利用向量法，求出平面PFD的法向量，利用

m

•

EG

=0，可得結(jié)論；
解法2：幾何法，利用面面平行，可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：連接AF，則AF=DF=

2

，
又AD=2，∴DF²+AF²=AD²，∴DF⊥AF．
又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF
∵PF?平面PAF，
∴DF⊥PF．-----------------------（5分）
（Ⅱ）解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，PA⊥平面ABCD，則如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，所以PA=AB=1，
以A（0，0，0），B（1，0，0），F(xiàn)（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．
所以

PF

=(1，1，-1)，

DF

=(1，-1，0)
設(shè)平面PFD的法向量為

n

=(x，y，z)，
由

n • PF =0 n • DF =0

得

x+y-z=0 x-y=0

，
令x=1，解得：y=1，z=2，所以

n

=(1，1，2)．
又因?yàn)锳B⊥平面PAD，所以

AB

是平面PAD的法向量，易得

AB

=(1，0，0)，
所以cos?

AB

，

n

＞=

AB • n

| AB |•| n |

=

1

1+1+4

=

6

6

．
由圖知，所求二面角A-PD-F的余弦值為

6

6

．---------------------------------（10分）
（Ⅲ）解法1：在棱PA上存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD．
設(shè)點(diǎn)P（0，0，a），G（0，0，b），則

PF

=(1，1，-a)，

DF

=(1，-1，0)
因?yàn)?span id="n3jbbdz" class="MathJye">E(

1

2

，0，0)，則

EG

=(-

1

2

，0，b)．
設(shè)平面PFD的法向量為

m

=(x，y，z)，
由

m • PF =0 m • DF =0

得

x+y-az=0 x-y=0

，
令x=1，解得：y=1，z=

2

a

，所以

m

=(1，1，

2

a

)．
令

m

•

EG

=0得-

1

2

+

2b

a

=0，即b=

1

4

a，
所以G(0，0，

1

4

a)．
從而滿足AG=

1

4

AP的點(diǎn)G為所求．---------------------------------------------（14分）
解法2：過點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H，則EH∥平面PFD且AH=

1

4

AD．
再過點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，則HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，
∴平面EHG∥平面PFD，∴EG∥PFD．
從而滿足AG=

1

4

AP的點(diǎn)G為所求．-----------------------------（14分）

點(diǎn)評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查線面平行，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．