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在正方體中，分別的中點.

（1）求證：；
（2）已知是靠近的的四等分點，求證：.

（1）詳見解析；（2）詳見解析

解析試題分析：（1）用普通方法不容易證且為正方體故選用空間向量法。先建立空間直角坐標系，設出正方體的邊長得各點的坐標。用向量垂直證線線垂直，再根據線面垂直的定義證得線面垂直。（2）由（1）可知，用向量證得，即,再根據線面平行的判定定理證得線面平行。
試題解析：證明：如圖所示，建立空間直角坐標系.

設正方體的棱長為.
∵分別的中點，
∴，，
，.                       1分
（1）∵，∴.    2分
∵，，，
∴，.      3分
∵，
，
∴，.                      5分
∵是平面上的兩條相交直線，∴.     6分
（2）∵是靠近的的四等分點，∴.          7分
設，則，
∴，
∴.           9分
∴，∴，
∵，且不在平面內，∴.    12分
考點：空間向量法在立體幾何中的應用。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在正方體中.

(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成的角.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，斜四棱柱的底面是矩形，平面⊥平面，分別為的中點.

求證：
（1）；（2）∥平面.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在直三棱柱中,,，求：

（1）異面直線與所成角的大�。�
（2）直線到平面的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD為矩形，AD 平面ABE,AE=EB=BC=2,F為CE上的點.且BF 平面ACE.

（1）求證：平面ADE平面BCE；
（2）求四棱錐E-ABCD的體積；
（3）設M在線段AB上，且滿足AM=2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN平面DAE.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在長方體中,，點是棱上的一個動點.

(1)證明:；
(2)當為的中點時，求點到面的距離；
(3)線段的長為何值時，二面角的大小為.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，AD=，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動

（Ⅰ）求三棱錐E-PAD的體積;
（Ⅱ）當點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由；
（Ⅲ）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示，矩形中，，，，且，交于點.

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求三棱錐的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖1,矩形中,,,、分別為、邊上的點,且,,將沿折起至位置(如圖2所示),連結、,其中.

(Ⅰ)求證:平面；
(Ⅱ)在線段上是否存在點使得平面?若存在,求出點的位置；若不存在,請說明理由.
(Ⅲ)求點到平面的距離.

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