Question

已知曲線C上的動點P到點（1，0）的距離與到定直線L：x=-1的距離相等，
（1）求曲線C的方程；
（2）直線m過（-2，1），斜率為k，k為何值時，直線m與曲線C只有一個公共點，有兩個公共點；沒有公共點？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由拋物線的定義可知動點P的軌跡是拋物線；
（2）設(shè)直線m的方程為y-1=k（x+2），與拋物線的方程聯(lián)立可化為k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0．
分類討論：當k=0時，直線m∥x軸，直線與拋物線只有一個交點；
當k≠0時，若直線與m相切時?直線m與拋物線有且只有一個公共點?△=0，解出即可；
        當直線m與拋物線相交時?線m與拋物線有兩個公共點?△＞0，解出即可；
        當△＜0?直線m與拋物線沒有公共點，解出即可．

解答： 解：（1）由拋物線的定義可知動點P的軌跡是拋物線：y²=4x．
（2）設(shè)直線m的方程為y-1=k（x+2），聯(lián)立

y-1=k(x+2) y2=4x

．
化為k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0．
①當k=0時，直線m∥x軸，直線與拋物線只有一個交點，滿足題意；
②當k≠0時，若直線與m相切時，直線m與拋物線有且只有一個公共點，此時△=0，化為2k²+k-1=0，解得k=-1或k=

1

2

．
當直線m與拋物線相交時，線m與拋物線有兩個公共點，此時△＞0，化為2k²+k-1＜0，解得-1＜k＜

1

2

．（k≠0）．
當△＜0，直線m與拋物線沒有公共點，由△＜0化為2k²+k-1＞0，解得k＞

1

2

或k＜-1．
綜上可知：當k=0或k=-1或k=

1

2

時，直線與拋物線只有一個公共點；
當-1＜k＜

1

2

且k≠0時，直線與拋物線有兩個公共點；
當k＞

1

2

或k＜-1時，直線m與拋物線沒有公共點．

點評：本題考查了拋物線的定義及其標準方程、直線與拋物線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了分析問題和解決問題的能力，考查了計算能力，屬于難題．