Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2，
（1）設(shè)函數(shù)F（x）=2g（x）-f（x），求F（x）的極小值．
（2）設(shè)函數(shù)F（x）=ag（x）-f（x），（a＞0），若F（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）若x₁＞x₂＞0，總有m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)f'（x），利用導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)來求其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得其極值．（注意是在定義域內(nèi)研究其單調(diào)性）
（2）先把問題轉(zhuǎn)化為F（x）在（0，+∞）上的最小值大于0恒成立，然后求出F（x）的最小值即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）已知可轉(zhuǎn)化為x₁＞x₂＞0時，mg（x₁）-x₁f（x₁）≥mg（x₂）-x₂f（x₂）恒成立，令h(x)=mg(x)-xf(x)=

m

2

x2-xlnx，則h（x）為單調(diào)遞增的函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)工具即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）F(x)=

a

2

x2-lnx，F′(x)=ax-

1

x

=

ax2-1

x

…（2分）
因a＞0時，令F′（x）≥0，則x≥

1 a

，故F（x）在(0，

1 a

)上單調(diào)遞減，在(

1 a

，+∞)上單調(diào)遞增，
故F（x）在（0，+∞）上的最小值為F(

1 a

)=

1

2

+

1

2

lna，…（4分）
（2）由（1）得：故F（x）在（0，+∞）上的最小值為F(

1 a

)=

1

2

+

1

2

lna＞0，…（5分）
解得a＞

1

e

，所以a取值范圍是(

1

e

，+∞)…（6分）
（3）已知可轉(zhuǎn)化為x₁＞x₂＞0時，mg（x₁）-x₁f（x₁）≥mg（x₂）-x₂f（x₂）恒成立，
令h(x)=mg(x)-xf(x)=

m

2

x2-xlnx，則h（x）為單調(diào)遞增的函數(shù)，…（8分）
故h′（x）=mx-lnx-1≥0恒成立，即m≥

lnx+1

x

恒成立    …（10分）
令m(x)=

lnx+1

x

，則m′(x)=-

lnx

x2

，所以
當(dāng)x∈（0，1）時，m′（x）＞0，m（x）單調(diào)遞增
當(dāng)x∈（1，+∞）時，m′（x）＜0，m（x）單調(diào)遞減m（x）≤m（1）=1，故m≥1…（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，是函數(shù)這一章最基本的知識，也是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．