Question

已知函數(shù)f（x）=

1-(1-x)2 ，(0≤x＜2) f(x-2)，(x≥2)

，若關(guān)于x的方程f（x）=kx（k＞0）有且只有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令g（x）=kx（k＞0），將方程的解的個(gè)數(shù)化為函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出函數(shù)f（x）=

1-(1-x)2 ，(0≤x＜2) f(x-2)，(x≥2)

 的圖象，從圖象中得到實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：令g（x）=kx（k＞0），
則方程f（x）=kx（k＞0）有且只有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可轉(zhuǎn)化為
函數(shù)f（x）與g（x）有且只有四個(gè)交點(diǎn)；
作出函數(shù)f（x）=

1-(1-x)2 ，(0≤x＜2) f(x-2)，(x≥2)

 的圖象如下圖，

當(dāng)與第二半圓相切時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，k=

1

32-1

=

2

4

，
當(dāng)與第三半圓相切時(shí)，有5個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，k=

1

52-1

=

6

12

，
則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

6

12

，

2

4

）．
故答案為：（

6

12

，

2

4

）．

點(diǎn)評：本題考查了方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，同時(shí)考查了學(xué)生的作圖能力及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．