函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[-2，2]，表示的曲線過原點，且在x=±1處的切線的斜率均為-1，有以下命題：
①f（x）的解析式是f（x）=x3-4x，x∈[-2，2]；
②f（x）的極值點有且只有1個；
③f（x）的最大值與最小值之和為0；
其中真命題的序號是______．
函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c的圖象過原點，可得c=0；
又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1處的切線斜率均為-1，
則有
3+2a+b=-1
3-2a+b=-1
，解得a=0，b=-4．
所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4．
①可見f（x）=x3-4x，因此①正確；
②令f′（x）=0，得x=±
2
3
3
．因此②不正確；
所以f（x）在[-
2
3
3
，
2
3
3
]內(nèi)遞減，
且f（x）的極大值為f（-
2
3
3
）=
16
3
9
，極小值為f（
2
3
3
）=-
16
3
9
，兩端點處f（-2）=f（2）=0，
所以f（x）的最大值為M=
16
3
9
，最小值為m=-
16
3
9
，則M+m=0，因此③正確．
故答案為：①③．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+bx+c在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，函數(shù)f（x）在R上有三個零點．
（1）求b的值；
（2）若1是其中一個零點，求f（2）的取值范圍；
（3）若a=1，g（x）=f′（x）+3x2+lnx，試問過點（2，5）可作多少條直線與曲線y=g（x）相切？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•東城區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，曲線y=f（x）在點x=1處的切線l不過第四象限且斜率為3，又坐標原點到切線l的距離為
10
10
，若x=
2
3
時，y=f（x）有極值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•寧波模擬）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2-a2x+2，a∈R．
（1）若a＜0時，試求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若a=0，且曲線y=f（x）在點A、B（A、B不重合）處切線的交點位于直線x=2上，證明：A、B 兩點的橫坐標之和小于4；
（3）如果對于一切x1、x2、x3∈[0，1]，總存在以f（x1）、f（x2）、f（x3）為三邊長的三角形，試求正實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x3-3ax+b（a≠0），已知曲線y=f（x）在點（2，f（x））處在直線y=8相切．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x）=x3+ax2-x+1的極值情況，4位同學有下列說法：甲：該函數(shù)必有2個極值；乙：該函數(shù)的極大值必大于1；丙：該函數(shù)的極小值必小于1；�。悍匠蘤（x）=0一定有三個不等的實數(shù)根． 這四種說法中，正確的個數(shù)是（　�。�

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