Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

（Ⅰ）若f（θ）=1，求cos（

2

3

π-θ）的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由倍角公式化簡可得f（x）=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，由已知可得

3

sin

θ

2

=1-cos

θ

2

，平方整理從而解得：cos

θ

2

=1，或者-

1

2

，由倍角公式可求cosθ，即可求sinθ，從而由誘導(dǎo)公式，兩角差的正弦公式可求cos（

2

3

π-θ）的值．
（Ⅱ）利用正弦定理可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，化簡可得cosB=

1

2

，B=

π

3

，0＜A＜

2π

3

從而得到

A

2

+

π

6

 的范圍，進而得到函數(shù)f（A）的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

∵f（θ）=1，
∴sin（

θ

2

+

π

6

）=

1

2

，
可得

3

sin

θ

2

=1-cos

θ

2

，
平方整理可得：2cos²

θ

2

-cos

θ

2

-1=0，
從而解得：cos

θ

2

=1，或者-

1

2

∴cosθ=2cos²

θ

2

-1=1或者-

1

2

∴sinθ=0或者±

3

2

∴cos（

2

3

π-θ）=cos（

π

2

+

π

6

-θ）=sin（θ-

π

6

）=

3

2

sinθ-

1

2

cosθ=-

1

2

或者1．

（Ⅱ）∵f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

∵由條件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB．
∴則sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．
∴sin（B+C）=2sinAcosB，
又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，又0＜B＜π，
∴B=

π

3

．
∴可得0＜A＜

2π

3

．
∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，
∴

1

2

＜sin（

A

2

+

π

6

）＜1
故函數(shù)f（A）的取值范圍是（1，

3

2

）．

點評：本題考查三角函數(shù)性質(zhì)及簡單的三角變換，要求學(xué)生能正確運用三角函數(shù)的概念和公式對已知的三角函數(shù)進行化簡求值，屬于中檔題．