Question

已知f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）
（1）用定義法證明函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？若存在，請求出a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接由函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明；
（2）由奇函數(shù)的性質(zhì)得f（0）=0，求得a的值，然后利用奇函數(shù)的定義證明a=1時(shí)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．

解答： （1）證明：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對任意x₁，x₂∈R，設(shè)x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2•2x1+2-2•2x2-2

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

．
∵y=2^x是R上的增函數(shù)，且x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
則f（0）=a-1=0，
∴a=1．
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=1-

2

2x+1

．
∴f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
此時(shí)f（x）為奇函數(shù)，滿足題意，
∴a=1．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，考查了利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．