Question

已知實(shí)數(shù)m，n，s，t滿足：tm²+4n-3sn-2tlnm=0且3s-t-4=0，則 m²+n²+s²+t²-2ms-2nt的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,二元二次方程表示圓的條件

專題：轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用已知條件3s-t-4=0代入tm²+4n-3sn-2tlnm=0，推出函數(shù)的關(guān)系式，3s-t-4=0看作直線，化簡所求表達(dá)式化簡為直線與函數(shù)圖象上的點(diǎn)的距離問題，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出最小值，即可得到結(jié)果．

解答： 解：3s-t-4=0，代入tm²+4n-3sn-2tlnm=0，
可得tm²+4n-n（t+4）-2tlnm=0，即：m²-n-2lnm=0，
令y=n，x=m，可得：y=x²-2lnx，
3s-t-4=0可以看作3x-y-4=0直線，
m²+n²+s²+t²-2ms-2nt=（ m-s）²+（n-t）²，
表達(dá)式的最小值就是直線3x-y-4=0上的點(diǎn)與y=x²-2lnx上的點(diǎn)連線的最小值的平方，當(dāng)直線的平行線與函數(shù)的圖象相切時，平行線之間的距離最�。�
y′=2x-

2

x

，令2x-

2

x

=3，解得x=2，此時y=4-2ln2，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得：

|6-4+2ln2-4|

32+12

=

(2-2ln2) 10

10

．
 m²+n²+s²+t²-2ms-2nt的取值范圍是：[

2(1-ln2)2

5

，+∞）．
故答案為：[

2(1-ln2)2

5

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，難度大，并且涉及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．