已知H(-3,0),點Py軸上,點Qx軸的正半軸上,點M在直線PQ上,且滿足

⑴當點Py軸上移動時,求點M的軌跡C;

⑵過點T(-1,0)作直線l與軌跡C交于A、B兩點,若在x軸上存在一點E(x0,0),使得ABE是等邊三角形,求x0的值.

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解析:

解(1)設(shè)點M的坐標為(x,y),則由

,得。所以y2=4x 由點Qx軸的正半軸上,得x>0,所以,動點M的軌跡C是以(0,0)為頂點,以(1,0)為焦點的拋物線,除去原點.

   (2)設(shè)直線lyk(x+1),其中k≠0代入y2=4x,得k2x2+2(k2-2)xk2=0      ①

設(shè)Ax1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是方程①的兩個實數(shù)根,由韋達定理得

所以,線段AB的中點坐標為,線段AB的垂直平分線方程為

 ,所以,點E的坐標為 。因為ABE為正三角形,所以,點E到直線AB的距離等于

   

所以,

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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)向量
s
=(x+1,y),
t
=(y,x-1),(x,y∈R)滿足|
s
|+|
t
|=2
2
,已知定點A(1,0),動點P(x,y)
(1)求動點P(x,y)的軌跡C的方程;
(2)過原點O作直線l交軌跡C于兩點M,N,若,試求△MAN的面積.
(3)過原點O作直線l與直線x=2交于D點,過點A作OD的垂線與以O(shè)D為直徑的圓交于點G,H(不妨設(shè)點G在直線OD上方),試判斷線段OG的長度是否為定值?并說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知△OBC的頂點O(0,0),B(3,0),C(2,4).
(1)求△OBC的重心G,外心F,垂心H的坐標;
(2)證明G、F、H三點共線.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知點A(
3
,0),B(0,1),圓C是以AB為直徑的圓,直線l:
x=tcosφ
y=-1+tsinφ
,(t為參數(shù)).
(1)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,求圓C的極坐標方程;
(2)過原點O作直線l的垂線,垂足為H,若動點M0滿足2
OM
=3
OH
,當φ變化時,求點M軌跡的參數(shù)方程,并指出它是什么曲線.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點P(-3,0),點A在y軸上,點Q在x軸非負半軸上,點M在直線AQ上,滿足·=0,=-.

(1)當點A在y軸上移動時,求動點M的軌跡C的方程;

(2)設(shè)軌跡C的準線為l,焦點為F,過F作直線m交軌跡C于G,H兩點,過點G作平行于軌跡C的對稱軸的直線n,且n∩l=E,試問點E,O,H(O為坐標原點)是否在同一條直線上?并說明理由.

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